第二章点集拓扑（I)：拓扑空间则称为由男生成的拓扑，请读者自已验证上述的9确实是拓扑：用拓扑基描述拓扑显然要方便很多。以下我们考察一些例子例2.3.1设X=R1,是标准拓扑，B=[所有的开区间].拓扑基B生成了9.--例2.3.2设X=R?是标准拓扑，=[所有的开圆盘),拓扑基生成了.命题2.3.1设B是拓扑空间X的拓扑基.是一个子集族，那么以下两个条件彼此等价：(1)是B生成的拓扑，②)任取UE，对任意TEU,存在BEB使得EBCU反过来，对于给定的拓扑空间，如何判断一个开集族是否是这个拓扑的基？下面的结论回答了这一问题，命题2.3.2设X是拓扑空间，g是拓扑.设B是X的开集族，满足以下条件：对任何开集U及rEU,存在BEB，使得EBCU.那么B是该拓扑的基.证明对任何EX，由于X也是开集，故由假设条件知，存在BEB,满足aEBCX.设Bi,B2E，EBiB2.因为B1,B2是开集，所以BinB2也是开集。由假设条件，存-在B3EB,满足EB3CBinB2利用拓扑基比较两个拓扑的粗细也会方便很多命题2.3.3设X是一个拓扑空间，99是X上的拓扑，,B分别是9，9的拓扑基则以下三个条件彼此等价：(1)g细于g（即g),(2)对任意EX及包含的任意基元素BEB,都存在B'EB满足EB'CB,(3）B中任何基元素都是B中基元素的并：证明(2）与(3)的等价性是显然的，因此只需证明(1)与(2)的等价性(1)→(2)任取EX及包含r的基元素BEB.因为Bcgcg,所以BE'.由命题2.3.1及假设条件，存在B'E使得EBCB(2)→(1)由于是的拓扑基，故只需证明C即可.VBE，由假设条件（3)，B■是B中基元素的并，即BE例2.3.3设X=R2，B1=[所有的开圆盘].它是拓扑基，生成了标准拓扑1设9B2=[所有的开矩形]，它的生成拓扑记为92.利用命题2.3.3，容易验证91=92.2--8-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 则 T 称为由 B 生成的拓扑. 请读者自己验证上述的 T 确实是拓扑. 用拓扑基描述拓扑显然要方便很多. 以下我们考察一些 例子. 例 2.3.1 设 X = R 1 , T 是标准拓扑, B = {所有的开区间}. 拓扑基 B 生成了T . 例 2.3.2 设 X = R2 , T 是标准拓扑, B = {所有的开圆盘}, 拓扑基 B 生成了 T . 命题 2.3.1 设 B 是拓扑空间 X 的拓扑基. T 是一个子集族, 那么以下两个条件彼此等 价: (1) T 是 B 生成的拓扑, (2) 任取 U ∈ T , 对任意 x ∈ U, 存在 B ∈ B 使得 x ∈ B ⊆ U. 反过来，对于给定的拓扑空间，如何判断一个开集族是否是这个拓扑的基? 下面的结论回 答了这一问题. 命题 2.3.2 设 X 是拓扑空间, T 是拓扑. 设 B 是 X 的开集族, 满足以下条件: 对任何开 集 U 及 x ∈ U, 存在 B ∈ B, 使得 x ∈ B ⊆ U. 那么 B 是该拓扑的基. 证明 对任何 x ∈ X, 由于 X 也是开集, 故由假设条件知, 存在 B ∈ B, 满足 x ∈ B ⊆ X. 设 B1, B2 ∈ B, x ∈ B1 ∩ B2. 因为 B1, B2 是开集, 所以 B1 ∩ B2 也是开集. 由假设条件, 存 在 B3 ∈ B, 满足 x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2. 利用拓扑基比较两个拓扑的粗细也会方便很多. 命题 2.3.3 设 X 是一个拓扑空间, T , T ′ 是 X 上的拓扑, B, B′ 分别是 T , T ′ 的拓扑基, 则以下三个条件彼此等价: (1) T ′ 细于 T ( 即 T ⊆ T ′ ), (2) 对任意 x ∈ X 及包含 x 的任意基元素 B ∈ B,都存在 B′ ∈ B′ 满足 x ∈ B′ ⊆ B, (3) B 中任何基元素都是 B′ 中基元素的并. 证明 (2) 与 (3) 的等价性是显然的, 因此只需证明 (1) 与 (2) 的等价性. (1) ⇒ (2) 任取 x ∈ X 及包含 x 的基元素 B ∈ B. 因为 B ⊆ T ⊆ T ′ , 所以 B ∈ T ′ . 由命题 2.3.1 及假设条件, 存在 B′ ∈ B′ 使得 x ∈ B′ ⊆ B. (2) ⇒ (1) 由于 B 是 T 的拓扑基, 故只需证明 B ⊆ T ′ 即可. ∀B ∈ B, 由假设条件 (3), B 是 B′ 中基元素的并, 即 B ∈ T ′ . 例 2.3.3 设 X = R 2 , B1 = {所有的开圆盘}. 它是拓扑基, 生成了标准拓扑 T1. 设 B2 = {所有的开矩形}, 它的生成拓扑记为 T2. 利用命题 2.3.3, 容易验证 T1 = T2. - 8 -
第二章点集拓扑(I)：拓扑空间例2.3.4（下限拓扑）设X=R1，1=（所有的开区间)，它生成了标准拓扑91设={所有的半开区间[a6]1，它生成了所谓的下限拓扑我们验证任取（a,b)B1及任意(a,b)，存在Bz中的基元素[z,b)(a,b)使得E[r,b).由命题2.3.3,T粗于T2.反之，考虑B2中的基元素[c,d)及令=cE[c,d)此时不存在B中的任何基元素(a,b)使得cE(a,b)≤[c,d).因此i≠2.■2.3.2方法二：序拓扑定义2.3.3设X是非空集合.若在集合X上存在一个全序关系<，满足以下条件：(1)（可比较性)a,yeX,y,则要么a<y要么y<r,(2)（非自反性)VEX,<不可能成立，(3)（传递性),,E,若有及,则<成立则X被称为一个全序集.例2.3.5设X=R1,(1)X上的常用序关系<:r<y台y-rER+.(2）定义上的另一序关系：y台要么[ll要么l=l且<（请读者自己验证这是一个序关系).例2.3.6（字典序关系）已知（X，<x）及(Y,<y)是两个全序集，我们定义X和Y的笛卡尔乘积Z=XxY=((r,y)IrEX,yEY).在z上定义全序关系z:(1,1)z（2,y2)台要么1x2,要么i=2且y<2.这个序关系称作字典序关系.类似地，我们也可以定义多个全序集的笛卡尔积上的字典序关系定义2.3.4(区间）设(X,<x)是关于<x的一个全序集,a,bEX,a<b(1)开区间(a,b) (re X / a<r<b)特别地，若（a,b)=0，则称a是b的紧接前元，b是a的紧接后元(2)闭区间[a,b] f (e X la≤≤b])(3)半开区间[a,b) (r X[ a≤<b),(a,b) (rex [a<rb).-9-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 例 2.3.4 (下限拓扑) 设 X = R 1 , B1 = {所有的开区间}, 它生成了标准拓扑 T1. 设 T2 = {所有的半开区间 [a, b)}, 它生成了所谓的下限拓扑 T2. 我们验证 T1 $ T2. 任取 (a, b) ∈ B1 及任意 x ∈ (a, b), 存在 B2 中的基元素 [x, b) ⊆ (a, b), 使得 x ∈ [x, b). 由命题 2.3.3, T1 粗于 T2. 反之, 考虑 B2 中的基元素 [c, d) 及令 x := c ∈ [c, d). 此时不存在 B1 中的任何基元素 (a, b) 使得 c ∈ (a, b) ⊆ [c, d). 因此 T1 ̸= T2. 2.3.2 方法二: 序拓扑 定义 2.3.3 设 X 是非空集合. 若在集合 X 上存在一个全序关系 <, 满足以下条件: (1) (可比较性) ∀ x, y ∈ X, x ̸= y, 则要么 x < y 要么 y < x, (2) (非自反性) ∀ x ∈ X, x < x 不可能成立. (3) (传递性) ∀ x, y, z ∈ X, 若有 x < y 及 y < z, 则 x < z 成立, 则 X 被称为一个全序集. 例 2.3.5 设 X = R 1 , (1) X 上的常用序关系 <: x < y ⇔ y − x ∈ R +. (2) 定义 X 上的另一序关系: x < y ⇔ 要么 |x| < |y| 要么 |x| = |y| 且 x < y ( 请读者自己验证 这是一个序关系). 例 2.3.6 (字典序关系) 已知 (X, <X) 及 (Y, <Y ) 是两个全序集, 我们定义 X 和 Y 的笛卡 尔乘积 Z = X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. 在 Z 上定义全序关系 <Z: (x1, y1) <Z (x2, y2) ⇔ 要么 x1 <X x2, 要么 x1 = x2 且 y1 <Y y2. 这 个序关系称作字典序关系. 类似地, 我们也可以定义多个全序集的笛卡尔积上的字典序关系. 定义 2.3.4 (区间) 设 (X, <X) 是关于 <X 的一个全序集, a, b ∈ X, a < b. (1) 开区间 (a, b) def = {x ∈ X | a < x < b}. 特别地, 若 (a, b) = ∅, 则称 a 是 b 的紧接前元, b 是 a 的紧接后元. (2) 闭区间 [a, b] def = {x ∈ X | a ≤ x ≤ b}. (3) 半开区间 [a, b) def ={x ∈ X | a ≤ x < b}, (a, b] def ={x ∈ X | a < x ≤ b}. - 9 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间定义2.3.5(最大(小)元）设(X，<x)是全序集(1)若存在aEX使得对任意EX都有a≤，则称a是最小元.(2)若存在bEX使得对任意EX都有<b,则称b是最大元有了这些概念后，我们可以构造拓扑基定义2.3.6（序拓扑）设B是拓扑空间X上的一个子集族.UE当且仅当U是以下类型的区间之一：(1) U = (a,b);(2)U=[ao,b)（若最小元a0存在);(3)U=(a,bol（若最大元bo存在).B是拓扑基，生成的拓扑称作序拓扑.接下来我们要验证上述B确实是拓扑基，证明首先验证，对任何EX，都存在包含a的一个基元素.以下分情形讨论：(1)不是最大(小)元.此时可找a,bX使得a<<b,即E(a,b)(2)是最小元，E[,b),这里bX是任一满足b>的元素(3)是最大元，(a,),这里a是任一a的元素.其次，对任意Ui=(a,b),U2=(c,d)EB,容易验证UinU2仍是中的元素命题2.3.4上述B生成了拓扑9（称为序拓扑）..例2.3.7X=R1，常用序关系定义的拓扑基生成了R1上的标准拓扑.例2.3.8（字典序拓扑）X=R1×R1上由字典序定义的拓扑基记为(α×b,c×d)，这里■r×y表示坐标（以免和直线上区间的记号混淆).例2.3.9X=Z+，<是有由常用序关系定义的全序集.1是最小元.注意到单点集J (n-1,n+1), n>1,[n] =[1,2)],n=1.■因此每个单点集{n}都是基元素，从而Z+上的序拓扑是就是离散拓扑。例2.3.10设X=[0,1]×Z+，我们用Pn表示元素0×n，用Qn表示元素1×n.于是X={Pi,P2,...,Pn...,Q1,Q2,...,Qn,..]考虑上面的字典序<，我们有Pn<Qn,Pn<Pm,Qn<Qm,n<m.-10-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 定义 2.3.5 (最大 (小) 元) 设 (X, <X) 是全序集. (1) 若存在 a ∈ X 使得对任意 x ∈ X 都有 a ≤ x, 则称 a 是最小元. (2) 若存在 b ∈ X 使得对任意 x ∈ X 都有 x ≤ b, 则称 b 是最大元. 有了这些概念后, 我们可以构造拓扑基. 定义 2.3.6 (序拓扑) 设 B 是拓扑空间 X 上的一个子集族. U ∈ B 当且仅当 U 是以下类 型的区间之一: (1) U = (a, b); (2) U = [a0, b) (若最小元 a0 存在); (3) U = (a, b0] (若最大元 b0 存在). B 是拓扑基, 生成的拓扑称作序拓扑. 接下来我们要验证上述 B 确实是拓扑基. 证明 首先验证, 对任何 x ∈ X, 都存在包含 x 的一个基元素. 以下分情形讨论: (1) x 不是最大 (小) 元. 此时可找 a, b ∈ X 使得 a < x < b, 即 x ∈ (a, b). (2) x 是最小元, x ∈ [x, b), 这里 b ∈ X 是任一满足 b > x 的元素. (3) x 是最大元, x ∈ (a, x],这里 a ∈ X 是任一 a < x 的元素. 其次, 对任意 U1 = (a, b), U2 = (c, d) ∈ B, 容易验证 U1 ∩ U2 仍是 B 中的元素. 命题 2.3.4 上述 B 生成了拓扑 T ( 称为序拓扑 ). 例 2.3.7 X = R 1 , 常用序关系定义的拓扑基 B 生成了 R 1 上的标准拓扑. 例 2.3.8 (字典序拓扑) X = R 1 × R 1 上由字典序定义的拓扑基记为 (a × b, c × d), 这里 x × y 表示坐标 (以免和直线上区间的记号混淆). 例 2.3.9 X = Z +, < 是有由常用序关系定义的全序集. 1 是最小元. 注意到单点集 {n} = { (n − 1, n + 1), n > 1, [1, 2), n = 1. 因此每个单点集 {n} 都是基元素, 从而 Z + 上的序拓扑是就是离散拓扑. 例 2.3.10 设 X = {0, 1} × Z +, 我们用 Pn 表示元素 0 × n, 用 Qn 表示元素 1 × n. 于是 X = {P1, P2, · · · , Pn · · · , Q1, Q2, · · · , Qn, · · · } . 考虑上面的字典序 <. 我们有 Pn < Qn, Pn < Pm, Qn < Qm, n < m. - 10 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间单点集(Pn-1, Pn+1) n > 1,[Pn] :n=1[P1,P2)是开集.类似地，【Qn】（n>1)也是开集但是Q1}不是开集，因为包含Q1的任何开区间必含-有某个P.因此上述序拓扑不是一个离散拓扑定义2.3.7设X是全序集，我们定义(1)开射线(a, +o) [r [a<r) = U(a, z)(-00,a) f (r[ r<aj = U(r,a)(2）闭射线[a, +o) [r [a≤r] = U(a, ],(-0,a] f (r[ r≤a] = U[r,a)≤a注2.3.1（1)开射线显然是序拓扑中的开集(2)若ao是最小元，那么(-8o,a)=[ao,a)。类似地，若ao是最大元，那么(a,+oo)=(a,ao].L2.3.3方法三：积拓扑设X,Y是拓扑空间，定义X与Y的笛卡尔积Z=Xxy((r,y)lreX,yeY)构造Z上的拓扑，我们只需要构造对应的拓扑基即可.设UCX（相应地，VCY）是X（相应地，Y）中的开集.我们可构造Z上的子集U×V.现在考虑如下集族B=WCZIW=U×V这里U.V分别是X,Y中的开集】我们来证明上述的B是Z上的拓扑基，从而诱导Z上的拓扑，称之为积拓扑(ProductTopology)首先，任取（a,y)EZ.由X,Y本身的拓扑，存在X（相应地，Y)中的开集UCX（相应地VCY)满足rEU（相应地，yEV).因此（r,y)EUxV.其次，我们取Bi=Ui ×Vi,B2=U2× V2 E B,且不妨设（,y)eBinB2.令B3 = (UinU2) × (Vin V2) EB我们有（a,y)EBinB2=B3.综合可知，B是Z的一组拓扑基，例2.3.11设X=Y=RI都是带有标准拓扑的实数集，Z=X×Y=R2上的积拓扑就-是平面上的标准拓扑.-11-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 单点集 {Pn} = { (Pn−1, Pn+1) n > 1, [P1, P2) n = 1 是开集. 类似地, {Qn} (n > 1) 也是开集. 但是 {Q1} 不是开集, 因为包含 Q1 的任何开区间必含 有某个 Pi . 因此上述序拓扑不是一个离散拓扑. 定义 2.3.7 设 X 是全序集, 我们定义 (1) 开射线 (a, +∞) def = {x | a < x} = ∪ x>a (a, x), (−∞, a) def = {x | x < a} = ∪ x<a (x, a) (2) 闭射线 [a, +∞) def = {x | a ≤ x} = ∪ x≥a (a, x], (−∞, a] def = {x | x ≤ a} = ∪ x≤a [x, a) 注 2.3.1 (1) 开射线显然是序拓扑中的开集. (2) 若 a0 是最小元, 那么(−∞, a) = [a0, a). 类似地, 若 a0 是最大元, 那么(a, +∞) = (a, a0]. 2.3.3 方法三: 积拓扑 设 X, Y 是拓扑空间, 定义 X 与 Y 的笛卡尔积 Z = X × Y △ = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. 构造 Z 上的拓扑, 我们只需要构造对应的拓扑基即可. 设 U ⊆ X (相应地, V ⊆ Y ) 是 X (相应 地, Y ) 中的开集. 我们可构造 Z 上的子集 U × V . 现在考虑如下集族 B = {W ⊆ Z | W = U × V, 这里 U, V 分别是 X, Y 中的开集}. 我们来证明上述的 B 是 Z 上的拓扑基, 从而诱导 Z 上的拓扑, 称之为积拓扑(Product Topology). 首先, 任取 (x, y) ∈ Z. 由 X, Y 本身的拓扑, 存在 X (相应地, Y ) 中的开集 U ⊆ X (相应地, V ⊆ Y ) 满足 x ∈ U (相应地, y ∈ V ). 因此 (x, y) ∈ U × V . 其次, 我们取 B1 = U1 × V1, B2 = U2 × V2 ∈ B, 且不妨设 (x, y) ∈ B1 ∩ B2.令 B3 = (U1 ∩ U2) × (V1 ∩ V2) ∈ B. 我们有 (x, y) ∈ B1 ∩ B2 = B3. 综合可知, B 是 Z 的一组拓扑基. 例 2.3.11 设 X = Y = R1 都是带有标准拓扑的实数集, Z = X × Y = R2 上的积拓扑就 是平面上的标准拓扑. - 11 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间由命题2.3.2，容易验证如下结论，命题2.3.5假设B1是X的一组拓扑基，B2是Y的一组拓扑基，Z=X×Y,则B3={WCZW=BiXB2,B1EB1,B2EB2]是积拓扑Z=X×Y的一个拓扑基.我们有自然的投影映射例2.3.12（投影映射）XxY Ppy,X xY X,(a,y) →r,(r,y) -→y.设UCX.VCY分别是X,Y中的开集，那么pri'(U)={(r,y) /rEU,yEY)=UxY,pr'(V)=[(r,y) lrEX,ye V)=X ×V显然是Z中的开集，并且满足pr-(U)nprz(V)=U×V.一例2.3.13（箱拓扑）设【X}aeI是一族拓扑空间Z = Xa=((ca)ael a e Xa),QEIB={WCZ|W=l[U,Ua是Xα中的开集}QEI类似上面讨论，也是一个拓扑基，生成Z上的拓扑，我们称之为箱拓扑(Boxtopology).此时的投影映射记为pra:ZXa,()ela.-如果X。}aEI是由有限个拓扑空间构成的，那么我们也把ⅡIXα称作积拓扑QEI读者可能会问，为何我们不直接将上述拓扑称作“积拓扑”呢？实际上，在一般情形的笛卡尔积上，我们按如下方式定义积拓扑，定义2.3.8（广义积拓扑）考虑Z=IIX上的子集族QE=[WCZ|W=Ua，这里Uα是X。的开集，并且除了有限个Q外，都有Uα=Xa].QEB是Z上的拓扑基（请读者自己验证），生成的拓扑称作Z的积拓扑在有限笛卡尔积情形，箱拓扑和积拓扑一致，没有必要区分。在一般情形，箱拓扑要细于积拓扑.在拓扑学的研究中，积拓扑的性质更好.有限积情形的很多重要结论无法推广到一般情形的箱拓扑上，但却可以推广到积拓扑上因此我们选择将后者称作积拓扑更为合适2.3.4方法四：子空间拓扑定义2.3.9设(X，）是拓扑空间，YCX是非空子集(Ynu|UcX是开集).y称作Y上的子空间拓扑(Subspacetopology)-12-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 由命题 2.3.2, 容易验证如下结论. 命题 2.3.5 假设 B1 是 X 的一组拓扑基, B2 是 Y 的一组拓扑基, Z = X × Y , 则 B3 = {W ⊆ Z | W = B1 × B2, B1 ∈ B1, B2 ∈ B2} 是积拓扑 Z = X × Y 的一个拓扑基. 例 2.3.12 (投影映射) 我们有自然的投影映射 X × Y pr1 −→ X, X × Y pr2 −→ Y, (x, y) 7−→ x, (x, y) 7−→ y. 设 U ⊆ X, V ⊆ Y 分别是 X, Y 中的开集, 那么 pr−1 1 (U) ={(x, y) | x ∈ U, y ∈ Y } = U × Y, pr−1 2 (V ) ={(x, y) | x ∈ X, y ∈ V } = X × V 显然是 Z 中的开集, 并且满足 pr−1 1 (U) ∩ pr−1 2 (V ) = U × V . 例 2.3.13 (箱拓扑) 设 {Xα}α∈I 是一族拓扑空间, Z = ∏ α∈I Xα △ = {(xα)α∈I | xα ∈ Xα}, B = {W ⊆ Z | W = ∏ α∈I Uα, Uα 是 Xα 中的开集} 类似上面讨论, B 也是一个拓扑基, 生成 Z 上的拓扑, 我们称之为箱拓扑(Box topology). 此时的投影映射记为 prα : Z −→ Xα, (xα)α∈I 7−→ xα. 如果 {Xα}α∈I 是由有限个拓扑空间构成的, 那么我们也把 ∏ α∈I Xα 称作积拓扑. 读者可能会问, 为何我们不直接将上述拓扑称作“积拓扑”呢? 实际上, 在一般情形的笛卡尔 积上, 我们按如下方式定义积拓扑. 定义 2.3.8 (广义积拓扑) 考虑 Z = ∏ α∈I Xα 上的子集族 B = {W ⊆ Z | W = ∏ α∈I Uα, 这里 Uα 是 Xα 的开集, 并且除了有限个 α 外, 都有 Uα = Xα}. B 是 Z 上的拓扑基 (请读者自己验证), 生成的拓扑称作 Z 的积拓扑. 在有限笛卡尔积情形, 箱拓扑和积拓扑一致, 没有必要区分. 在一般情形, 箱拓扑要细于积 拓扑. 在拓扑学的研究中, 积拓扑的性质更好. 有限积情形的很多重要结论无法推广到一般情形 的箱拓扑上, 但却可以推广到积拓扑上. 因此我们选择将后者称作积拓扑更为合适. 2.3.4 方法四: 子空间拓扑 定义 2.3.9 设 (X, T ) 是拓扑空间, Y ⊆ X 是非空子集, TY △ = {Y ∩ U | U ⊆ X是开集}. TY 称作 Y 上的子空间拓扑(Subspace topology). - 12 -