第二章点集拓扑（I)：拓扑空间第二章点集拓扑（I)：拓扑空间2.1拓扑空间与开集我们首先回顾数学分析中实数轴X=R1上开集的概念(1)X上的开区间是指如下形式的集合Ui = (a,b)[reX la<r<b)特别地，我们可以将空集写为规定0=（1,0)，(2)开射线：U2 :=(a, +) (r E Ri [ T >a])Ug :=(-00, b) ≤ [r E Ri [r<b].全集也能写成X=（-80，+80)(3）一般开集定义为一些开区间的并集比如，（-1,0)U(2,3)是开集.实际上开射线和全集也能写成开区间的并(a,+)= U (a,n), (-0o,b) = U (-n,b), X= U(-n,n)nEZ+nEZ+nEZ+n>an>-b实数轴上的开集满足以下三条性质：(1）X,0是开集，(2）任意多个开集的并仍是开集，(3）有限多个开集的交仍是开集注 2.1.1性质（3）中“有限多个”的条件不能少，比如：n (-元)= (0)nrnEZ+不是开集■现在，我们要从实数轴开集的概念出发，定义抽象的拓扑空间和开集的概念定义2.1.1设X是非空集合，是X上一些子集构成的集族，满足以下条件：()0eg,XEg,(2)9中任意多个元素的并也在9中,(3）9中有限多个元素的交也在中，-3-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 2.1 拓扑空间与开集 我们首先回顾数学分析中实数轴 X = R 1 上开集的概念. (1) X 上的开区间是指如下形式的集合 U1 = (a, b) △ = {x ∈ X | a < x < b}. 特别地, 我们可以将空集写为规定 ∅ = (1, 0). (2) 开射线: U2 :=(a, +∞) △ = {x ∈ R 1 | x > a}, U3 :=(−∞, b) △ = {x ∈ R 1 | x < b}. 全集也能写成 X = (−∞, +∞). (3) 一般开集定义为一些开区间的并集. 比如, (−1, 0) ∪ (2, 3) 是开集. 实际上开射线和全集 也能写成开区间的并. (a, +∞) = ∪ n ∈ Z+ n > a (a, n), (−∞, b) = ∪ n ∈ Z+ n > −b (−n, b), X = ∪ n∈Z+ (−n, n). 实数轴上的开集满足以下三条性质: (1) X, ∅ 是开集, (2) 任意多个开集的并仍是开集, (3) 有限多个开集的交仍是开集. 注 2.1.1 性质 (3) 中“有限多个” 的条件不能少, 比如: ∩ n∈Z+ (− 1 n , 1 n ) = {0} 不是开集. 现在, 我们要从实数轴开集的概念出发, 定义抽象的拓扑空间和开集的概念. 定义 2.1.1 设 X 是非空集合, T 是 X 上一些子集构成的集族, 满足以下条件: (1) ∅ ∈ T , X ∈ T , (2) T 中任意多个元素的并也在 T 中, (3) T 中有限多个元素的交也在 T 中, - 3 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间则称是X上的一个拓扑(Topology)，X称为拓扑空间.中的元素称为开集(Open set)下面举一些拓扑空间的例子.例2.1.1（实数轴上的标准拓扑）设X=Rl,9=[U|U是开区间的并集).显然是-集合X的拓扑，中的元素即为通常理解的开集.这个拓扑称为标准拓扑，例2.1.2(平面上的标准拓扑）设X=R2,g=[U|U是开邻域的并集)，g也是X的-标准拓扑，其开集与我们在数学分析中理解的概念完全一致，例2.1.3设X=[1,2,3].我们可以定义X上各种不同的拓扑，(1)=[0,X).这是平凡的拓扑，(2) = [0, X, [1], [2],(3）=X的幂集（即所有子集构成的族)，-(4) 4 =[0,X,[2], [1,2], [2,3]]注2.1.2(1）上例表明X上可能有许多不同的拓扑(2）并非任何集族都是拓扑.比如X=[1,2,3}上9 =[ 0,X, [1,2], [2,3]并非拓扑.这是因为[2]=[1,2]n[2,3]不在9中■有限集合上的拓扑有许多有趣的组合数学问题.比如问题2.1.1设Xn=[1,2,，n]，那么Xn上有多少种不同的拓扑?例2.1.4（离散拓扑）设X是非空集合，是X的幂集.该拓扑称为离散拓扑一.例2.1.5（平凡拓扑）设X是非空集合，=【0，X}定义的拓扑称为平凡拓扑.例2.1.6(余有限拓扑)设X是无限集合，=[U|要么U=の,要么X-U是有限集}我们来验证它是拓扑(1)由定义：0E.因为X-X=0,故也是有限集，所以XE9(2)设[Ua)aeIC，我们要证UU&E，即证X-UUa是有限集.由于oeX- UU&=(X -Ua)QEIQEI并且X-U是有限集，故X-UU是有限集，从而X-UUEのQEIQEI-4-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 则称 T 是 X 上的一个拓扑 (Topology), X 称为拓扑空间. T 中的元素称为开集 (Open set). 下面举一些拓扑空间的例子. 例 2.1.1 (实数轴上的标准拓扑) 设 X = R 1 , T = {U | U 是开区间的并集}. 显然 T 是 集合 X 的拓扑, T 中的元素即为通常理解的开集. 这个拓扑称为标准拓扑. 例 2.1.2 (平面上的标准拓扑) 设 X = R 2 , T = {U | U 是开邻域的并集}, T 也是 X 的 标准拓扑, 其开集与我们在数学分析中理解的概念完全一致. 例 2.1.3 设 X = {1, 2, 3}. 我们可以定义 X 上各种不同的拓扑. (1) T1 = {∅, X}. 这是平凡的拓扑, (2) T2 = { ∅, X, {1}, {2}}, (3) T3 = X 的幂集 ( 即所有子集构成的族), (4) T4 = {∅, X, {2}, {1, 2}, {2, 3}}. 注 2.1.2 (1) 上例表明 X 上可能有许多不同的拓扑. (2) 并非任何集族都是拓扑. 比如 X = {1, 2, 3} 上 T = { ∅, X, {1, 2}, {2, 3}} 并非拓扑. 这是因为 {2} = {1, 2} ∩ {2, 3} 不在 T 中. 有限集合上的拓扑有许多有趣的组合数学问题. 比如 问题 2.1.1 设 Xn = {1, 2, · · · , n}, 那么 Xn 上有多少种不同的拓扑? 例 2.1.4 (离散拓扑) 设 X 是非空集合, T 是 X 的幂集. 该拓扑称为离散拓扑. 例 2.1.5 (平凡拓扑) 设 X 是非空集合, T = {∅, X} 定义的拓扑称为平凡拓扑. 例 2.1.6 (余有限拓扑) 设 X 是无限集合, Tf = {U | 要么 U = ∅, 要么 X − U 是有限集}. 我们来验证它是拓扑. (1) 由定义: ∅ ∈ Tf . 因为 X − X = ∅, 故也是有限集, 所以 X ∈ Tf . (2) 设 {Uα}α∈I ⊆ Tf , 我们要证 ∪ α∈I Uα ∈ Tf , 即证 X − ∪ α∈I Uα是有限集. 由于 X − ∪ α∈I Uα = ∩ α∈I (X − Uα), 并且 X − Uα 是有限集, 故 X − ∪ α∈I Uα 是有限集, 从而X − ∪ α∈I Uα ∈ Tf - 4 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间(3）设U1,U2,...UnE,（即X-U,是有限集).由X-nui=U(x-U)=1=推知U(X-U)是有限集.因此nUiE9Fi=1i=1综上所述，是X上的拓扑■类似地，我们可定义如下拓扑空间例2.1.7（余可数拓扑）设X是不可数集合，f=[U|要么U=0,要么X-0是可数集]-请读者自己验证这是拓扑空间，定义 2.1.2设X非空，和是X上的两个拓扑若gC%，则称%细于%，或称粗于92.■例2.1.8平凡拓扑粗于离散拓扑.例2.1.9设X=[1,2,3],91 = [0, X, [1], [1,2],9, = [0, X, [1], [2], [1,2 ], [2,3]则%因此粗于%2.2闭集定义2.2.1设g是X的拓扑，YCX，若X-YEg是开集，则称Y是闭集（closeset)例2.2.1设X=Ri,是标准拓扑.我们考察闭区间[a,b]=[[a≤≤b]因为-X-[a.b]=（-oo,a)U(b.+o)是g的开集，所以[a.bl是闭集例2.2.29是X上的离散拓扑，对任何子集YCX，Y是开集.另一方面，X-YE，因此Y是闭集综上，Y既是开集，又是闭集-例2.2.3设X={1,2,3],9=[0,X,{1],[2,3]],Y={1]是开集.另一方面，X-Y=■[2,3]E表明Y是闭集.因此Y既是开集也是闭集，例2.2.4X=RI，9是余有限拓扑，YCX，Y是闭集当且仅当X-Y是开集，即X-（X-Y）是有限集，或者X-Y=0,亦即Y-是有限集或者 Y=X.例2.2.5X=R?，9是X上的标准拓扑.设Y=[(a,y) /a ≥0,y ≥0),-因为X-Y=（-80,0)×RRl×（-80,0)是开集，所以Y是闭集-5-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 (3) 设 U1, U2, . . . Un ∈ Tf (即 X − Ui 是有限集). 由 X − ∩n i=1 Ui = ∪n i=1 (X − Ui) 推知 ∪n i=1 (X − Ui) 是有限集. 因此 ∩n i=1 Ui ∈ Tf . 综上所述, Tf 是 X 上的拓扑. 类似地, 我们可定义如下拓扑空间. 例 2.1.7 (余可数拓扑) 设 X是不可数集合, Tf = {U | 要么 U = ∅, 要么 X − ∅ 是可数集}. 请读者自己验证这是拓扑空间. 定义 2.1.2 设 X 非空, T1 和 T2 是 X 上的两个拓扑. 若 T1 ⊆ T2, 则称 T2 细于 T1, 或称 T1 粗于 T2. 例 2.1.8 平凡拓扑粗于离散拓扑. 例 2.1.9 设 X = {1, 2, 3}, T1 = {∅, X, {1}, {1, 2}}, T2 = {∅, X, {1}, {2}, {1, 2 }, {2, 3}}, 则 T1 ⊆ T2, 因此 T1 粗于 T2. 2.2 闭集 定义 2.2.1 设 T 是 X 的拓扑, Y ⊆ X, 若 X − Y ∈ T 是开集, 则称 Y 是闭集 (closeset). 例 2.2.1 设 X = R 1 , T 是标准拓扑. 我们考察闭区间 [a, b] := {x | a ≤ x ≤ b}. 因为 X − [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞) 是 T 的开集, 所以 [a, b] 是闭集. 例 2.2.2 T 是 X 上的离散拓扑,对任何子集 Y ⊆ X, Y 是开集. 另一方面, X − Y ∈ T , 因此 Y 是闭集. 综上, Y 既是开集,又是闭集. 例 2.2.3 设 X = {1, 2, 3}, T = {∅, X, {1}, {2, 3}}, Y = {1} 是开集. 另一方面, X − Y = {2, 3} ∈ T 表明 Y 是闭集. 因此 Y 既是开集也是闭集. 例 2.2.4 X = R 1 , Tf 是余有限拓扑. Y ⊆ X, Y 是闭集当且仅当 X − Y 是开集, 即 X − (X − Y ) 是有限集, 或者 X − Y = ∅, 亦即 Y 是有限集或者 Y = X. 例 2.2.5 X = R2 , T 是 X 上的标准拓扑. 设 Y = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0}. 因为 X − Y = (−∞, 0) × R1 ∪ R1 × (−∞, 0) 是开集, 所以 Y 是闭集. - 5 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间命题2.2.1X是一个拓扑空间，则(1)0,X是闭集，(2）任意多个闭集的交是闭集，(3）有限多个闭集的并是闭集证明(1)因为X-0=XEg，故0是闭集.又因X-X=0E9，所以X也是闭集(2)设[Ya)aEI是一族闭集，Ua=X-Yα.由定义，UαE是开集.注意X-OYα= UUaQEIQEI是开集，故nYα是闭集QE(3)设Yi,Y2,...,Yn是闭集．由于X-YiUY2U...UYn=nU-1是nU是开集，故YiUY2UUYn是闭集一=-1注2.2.1设集合X是非空集，我们也可以用“闭集”定义X上的拓扑具体方法如下：设%是子集族，满足：(1) X,0 e%,(2)%中任意多个元素的交集仍在中，(3）%中有限多个元素的并集还仍在中令g=UIX-UE.则g给出了集合X上的拓扑例2.2.6（Zariski拓扑）设X=Cn是复数域上n维空间.考虑多项式方程组fi(r1,2,...,an)=0f2(1,2,...,an)=0fn(1,2,...,an)=0定义该方程组的解集为Z(f1,f2,，).显然有z(f1, f2,.., f.) =z(fi)nz(f2)n.nz(f.)我们记U(fi,f2,...,f.)=X-Z(f1,f2,...,fr),g={所有这类U(f1,f2....,f))，=[所有多项式方程组解集}以下我们断言g是拓扑，称之为Zariski拓扑.它是代数几何中最基本的研究对象利用注记2.2.1及命题2.2.1，我们只需要验证%是闭集族，从而它诱导了X上的拓扑9-6-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 命题 2.2.1 X 是一个拓扑空间, 则 (1) ∅, X 是闭集, (2) 任意多个闭集的交是闭集, (3) 有限多个闭集的并是闭集. 证明 (1) 因为 X − ∅ = X ∈ T , 故 ∅ 是闭集. 又因 X − X = ∅ ∈ T , 所以 X 也是闭集. (2) 设 {Yα}α∈I 是一族闭集, Uα = X − Yα. 由定义, Uα ∈ T 是开集. 注意 X − ∩ α∈I Yα = ∪ α∈I Uα 是开集, 故 ∩ α∈I Yα 是闭集. (3) 设 Y1, Y2, . . . , Yn 是闭集. 由于 X − Y1 ∪ Y2 ∪ · · · ∪ Yn = ∩n i=1 Ui 是 ∩n i=1 Ui 是开集, 故 Y1 ∪ Y2 ∪ · · · ∪ Yn 是闭集. 注 2.2.1 设集合 X 是非空集, 我们也可以用“闭集” 定义 X 上的拓扑. 具体方法如下: 设 C 是子集族,满足: (1) X, ∅ ∈ C , (2) C 中任意多个元素的交集仍在 C 中, (3) C 中有限多个元素的并集还仍在 C 中. 令 T = {U | X − U ∈ C }, 则 T 给出了集合 X 上的拓扑. 例 2.2.6 (Zariski 拓扑) 设 X = C n 是复数域上 n 维空间. 考虑多项式方程组: f1(x1, x2, . . . , xn) = 0 f2(x1, x2, . . . , xn) = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · fn(x1, x2, . . . , xn) = 0 定义该方程组的解集为 Z(f1, f2, · · · , fr). 显然有 Z(f1, f2, . . . , fr) = Z(f1) ∩ Z(f2) ∩ · · · ∩ Z(fr). 我们记 U(f1, f2, . . . , fr) = X − Z(f1, f2, . . . , fr), T = {所有这类 U(f1, f2, . . . , fr)}, C = {所有多项式方程组解集}. 以下我们断言 T 是拓扑, 称之为 Zariski 拓扑. 它是代数几何中最基本的研究对象. 利用注记 2.2.1 及命题 2.2.1, 我们只需要验证 C 是闭集族, 从而它诱导了 X 上的拓扑 T . - 6 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间首先注意到0=Z(1)（即方程1=0无解)及X=Z(0)，因此0,XE%令Ya)aeI%.由定义可设Yα=Z(fa1,fa2....,far.)=Z(fa)nZ(fa2)n.nZ(fara)因此OYα=O(z(fa)nz(fa)n...nz(fara)=z((fa))由经典的结论，多项式环C[r1,，an]中由诸fα}生成的理想可以用有限个元素生成。换言之，方程组{fα=0}中可以挑出有限个方程，它们的解集和【fa=0)的解集一致.因此NYaeg.QEI取%中有限个个元素Yi,Y2....,YmE%.今证UY是一个闭集.由数学归纳法，我们只需i=l证明n=2的情形.不失一般性，设Yi=Z(fi, f2...., fr),Y2=Z(g1,92,.9t)那么YiUY2=ZE.(2-1)(fi-gihisisr1≤j≤I综上,我们证明了9是X上的拓扑例2.2.7设X=C，の是Zariski拓扑，の是余有限拓扑.由高斯代数学基本定理，我们有9=%.请读者自己验证2.3拓扑空间的构造方法2.3.1方法一：拓扑基定义2.3.1X是一个非空集合，B是X的子集族，满足以下条件(1)任给EX,存在UEB使得TEU,(2)设EUinU2,这里Ui,U2EB,则存在UEB使得UCUinU2我们称B是X的一个拓扑基拓扑基%中的元素被称作基元素利用拓扑基，我们可以构造出拓扑.这个构造方法有点类似于用线性无关向量组构造向量空间.定义2.3.2设B是X的拓扑基，是X的子集族，满足：UE一U=O或U是B中基元素的并，-7-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 首先注意到 ∅ = Z(1) ( 即方程 1 = 0 无解) 及X = Z(0), 因此 ∅, X ∈ C . 令 {Yα}α∈I ⊆ C . 由定义可设 Yα = Z(fα1 , fα2 , . . . , fαrα ) = Z(fα1 ) ∩ Z(fα2 ) ∩ · · · ∩ Z(fαrα ) 因此 ∩ α∈I Yα = ∩ α∈I (Z(fα1 ) ∩ Z(fα2 ) ∩ · · · ∩ Z(fαrα )) = Z({fαβ }) 由经典的结论, 多项式环 C[x1, · · · , xn] 中由诸 {fαi } 生成的理想可以用有限个元素生成. 换言 之, 方程组 {fαi = 0} 中可以挑出有限个方程, 它们的解集和 {fαi = 0} 的解集一致. 因此 ∩ α∈I Yα ∈ C . 取 C 中有限个个元素 Y1, Y2, . . . , Yn ∈ C . 今证 ∪n i=1 Yi 是一个闭集. 由数学归纳法, 我们只需 证明 n = 2 的情形. 不失一般性, 设 Y1 = Z(f1, f2, . . . , fr), Y2 = Z(g1, g2, . . . , gl) 那么 Y1 ∪ Y2 = Z {fi · gj} 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ l ∈ C . (2-1) 综上,我们证明了 T 是 X 上的拓扑. 例 2.2.7 设 X = C, T1 是 Zariski 拓扑, T2 是余有限拓扑. 由高斯代数学基本定理, 我们 有 T1 = T2. 请读者自己验证. 2.3 拓扑空间的构造方法 2.3.1 方法一: 拓扑基 定义 2.3.1 X 是一个非空集合, B 是 X 的子集族, 满足以下条件 (1) 任给 x ∈ X, 存在 U ∈ B 使得 x ∈ U, (2) 设 x ∈ U1 ∩ U2, 这里 U1, U2 ∈ B, 则存在 U3 ∈ B 使得 x ∈ U3 ⊆ U1 ∩ U2. 我们称 B 是 X 的一个拓扑基. 拓扑基 B 中的元素被称作基元素. 利用拓扑基, 我们可以构造出拓扑. 这个构造方法有点类似于用线性无关向量组构造向量空 间. 定义 2.3.2 设 B 是 X 的拓扑基, T 是 X 的子集族, 满足: U ∈ T ⇐⇒ U = ∅ 或 U 是 B 中基元素的并, - 7 -