第二章点集拓扑（I)：拓扑空间有时为表述方便，在不致于混淆的情况下，我们也将子空间拓扑写成ly，简称作9在Y上的限制.下面我们来证明9y确实给出了Y上的一个拓扑证明(1)由O=OnYegy,Y-XnYEgY立知OE,YEy.(2)设[UαnY)aery.因为U&是X的开集，所以UU也是X的开集，故U(U&ny) =Yn(UUa) e %y.QEIaEI(3)设UinY, U2nYy,..,Unny是中的元素.因为U是开集，所以k=1N(UnY)=(nU)nYe.k=1综合以上，%是Y的拓扑，即为子空间拓扑命题2.3.6设B是X的拓扑基，BY=BnY|BEB，则BY是Y上的子空间拓扑的基下面我们利用命题2.3.2来验证上述结论证明月设U是X中的任一开集，YnUE%.不妨设YnU非空任取yEYnU，我们找到BEB，使得yEBnYCYnU即可.由拓扑基的定义，我们显然可以找到BEB使得uEBCU.它满足上述要求.由命题2.3.2即得所需结论一般说来，Y中的开集未必是X中的开集.比如下面的简单例子例2.3.14考虑X=R1上的标准拓扑.取13Y=[0, 1], U=(2),那么YnU=（,1)是Y上子空间拓扑中的开集，但并不是X中的开集。下面我们来算一下Y的子空间拓扑的基( (a, b),若 (a,b) CY,[0,b),若a<0<b≤1,(a,b)nY =R (a,1],若0≤a<1<b,Y,若Y(a,b),( 0,其他.这个例子表明，此处Y的序拓扑实际上和它的子空间拓扑是一致的，-13-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 有时为表述方便, 在不致于混淆的情况下, 我们也将子空间拓扑写成 T |Y , 简称作 T 在 Y 上的 限制. 下面我们来证明 TY 确实给出了 Y 上的一个拓扑. 证明 (1) 由 ∅ =∅ ∩ Y ∈ TY , Y =X ∩ Y ∈ TY 立知 ∅ ∈ TY , Y ∈ TY . (2) 设 {Uα ∩ Y }α∈I ⊆ TY . 因为 Uα 是 X 的开集, 所以 ∪ α∈I Uα 也是 X 的开集, 故 ∪ α∈I (Uα ∩ Y ) = Y ∩ ( ∪ α∈I Uα) ∈ TY . (3) 设 U1 ∩ Y, U2 ∩ Y, · · · , Un ∩ Y 是 TY 中的元素. 因为 ∩n k=1 Uk 是开集, 所以 ∩n k=1 (Uk ∩ Y ) = (∩n k=1 Uk) ∩ Y ∈ TY . 综合以上, TY 是 Y 的拓扑, 即为子空间拓扑. 命题 2.3.6 设 B 是 X 的拓扑基, BY = {B ∩ Y | B ∈ B}, 则 BY 是 Y 上的子空间拓扑 的基. 下面我们利用命题 2.3.2 来验证上述结论. 证明 设 U 是 X 中的任一开集, Y ∩ U ∈ TY . 不妨设 Y ∩ U 非空. 任取 y ∈ Y ∩ U, 我们找到 B ∈ B, 使得 y ∈ B ∩ Y ⊆ Y ∩ U 即可. 由拓扑基的定义, 我们显 然可以找到 B ∈ B 使得 y ∈ B ⊆ U. 它满足上述要求. 由命题 2.3.2 即得所需结论. 一般说来, Y 中的开集未必是 X 中的开集. 比如下面的简单例子. 例 2.3.14 考虑 X = R 1 上的标准拓扑. 取 Y = [0, 1], U = (1 2 , 3 2 ), 那么 Y ∩ U = ( 1 2 , 1] 是 Y 上子空间拓扑中的开集, 但并不是 X 中的开集. 下面我们来算一下 Y 的子空间拓扑的基. (a, b) ∩ Y = (a, b), 若 (a, b) ⊆ Y, [0,b), 若 a < 0 < b ≤ 1, (a,1], 若 0 ≤ a < 1 < b, Y, 若 Y ⊆ (a, b), ∅, 其他. 这个例子表明, 此处 Y 的序拓扑实际上和它的子空间拓扑是一致的. - 13 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间例2.3.15考虑X=R1上的标准拓扑.设Y=[0,1)U[2].在Y的子空间拓扑%中单点集c)nY(2) = (22)是Y中的开集再来考察Y上的序拓扑设B是中含有2的基元素(a, 2]g= (y eY [a<y≤2) = (a, 2]xnY根据序拓扑基元的规定，aEY，并且a<2,因而0<a<1.这样，上述区间至少包含Y中某个不等于2的元素.因此[2]不是Y的序拓扑中的开集-这个例子表明，Y的子空间拓扑未必和它自身的序拓扑完全一致例2.3.14的结论在一定条件下可以推广到更一般的序拓扑上命题2.3.7（序拓扑的限制）（X,）是序拓扑空间，YCX是序拓扑下的开区间或开射线），那么子空间拓扑与Y上的序拓扑一致(请读者自己验证）例2.3.16（X，）是离散拓扑，YCX，那么子空间拓扑%y就是Y的离散拓扑.■命题2.3.8（积拓扑的限制）设X,Y是拓扑空间，A,B分别是X和Y中的子集。设是X×Y上的积拓扑，是A×B上的积拓扑（A,B分别具有X,Y的子空间拓扑）.那么A×B的子空间拓扑与！一致.换言之，我们有如下关系式那么我们有以下关系成立：FAxB=g注2.3.2为方便大家记忆，我们也可以将上述结论简写为9AXB=9AX9B这里9A（相应地，B）表示A（相应地，B）作为拓扑空间X（相应地，Y）的子空间拓扑.■下面我们简要地验证这个结论证明不妨设U×V是X×Y的拓扑基中的基元素，由定义(U × V)n(A× B) E AxB另一方面，(UV)n(AxB)= (UnA)×(VnB)Eg'因此AXBCg!同理也能得到'CAxB.因此两个拓扑是一致的一2.3.5方法五：度量拓扑这一节将介绍一种构造拓扑的经典方式.它是通过事先给定的度量来诱导出拓扑.这类拓扑很接近于数学分析中的常见拓扑。相对其他拓扑来说，它们的性质也更为丰富，首先回顾一下度量的概念，-14-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 例 2.3.15 考虑 X = R 1 T 上的标准拓扑. 设 Y = [0, 1) ∪ {2}. 在 Y 的子空间拓扑 TY 中, 单点集 {2} = (3 2 , 5 2 ) ∩ Y 是 Y 中的开集. 再来考察 Y 上的序拓扑 T ′ . 设 B 是 T ′ 中含有 2 的基元素 (a, 2]T ′ = {y ∈ Y | a < y ≤ 2} = (a, 2]X ∩ Y. 根据序拓扑基元的规定, a ∈ Y , 并且 a < 2, 因而 0 < a < 1. 这样, 上述区间至少包含 Y 中某个 不等于 2 的元素. 因此 {2} 不是 Y 的序拓扑中的开集. 这个例子表明, Y 的子空间拓扑未必和它自身的序拓扑完全一致. 例 2.3.14 的结论在一定条件下可以推广到更一般的序拓扑上. 命题 2.3.7 (序拓扑的限制) (X, T ) 是序拓扑空间, Y ⊆ X 是序拓扑下的开区间(或开射 线), 那么子空间拓扑 TY 与 Y 上的序拓扑一致. (请读者自己验证) 例 2.3.16 (X, T ) 是离散拓扑, Y ⊆ X, 那么子空间拓扑 TY 就是 Y 的离散拓扑. 命题 2.3.8 (积拓扑的限制) 设 X, Y 是拓扑空间, A, B 分别是 X 和 Y 中的子集. 设 T 是 X × Y 上的积拓扑, T ′ 是 A × B 上的积拓扑 (A, B 分别具有 X, Y 的子空间拓扑). 那么 A × B 的子空间拓扑与 T ′ 一致. 换言之, 我们有如下关系式那么我们有以下关系成立: TA×B = T ′ . 注 2.3.2 为方便大家记忆, 我们也可以将上述结论简写为 TA×B = TA × TB, 这里 TA (相应地, TB) 表示 A (相应地, B) 作为拓扑空间 X (相应地, Y ) 的子空间拓扑. 下面我们简要地验证这个结论. 证明 不妨设 U × V 是 X × Y 的拓扑基中的基元素, 由定义, (U × V ) ∩ (A × B) ∈ TA×B. 另一方面, (U × V ) ∩ (A × B) = (U ∩ A) × (V ∩ B) ∈ T ′ . 因此 TA×B ⊆ T ′ . 同理也能得到 T ′ ⊆ TA×B. 因此两个拓扑是一致的. 2.3.5 方法五: 度量拓扑 这一节将介绍一种构造拓扑的经典方式. 它是通过事先给定的度量来诱导出拓扑. 这类拓扑 很接近于数学分析中的常见拓扑. 相对其他拓扑来说, 它们的性质也更为丰富. 首先回顾一下度量的概念. - 14 -
第二章点集拓扑（I)：拓扑空间定义2.3.10集合X上的度量(Metric)d:X×XRI是指满足以下条件的函数：(1)(正定性)d(r,y) ≥0, Vr,y e X,并且d(a,y)=0当且仅当=y(2)(对称性)d(r,y) =d(y,r), Vr,yex.(3）（三角不等式）d(r,y) +d(y,z) ≥d(r,z), Vr,y,zE X我们称d(r,y)是r,y关于度量d的距离(Distance).此外，对任意EX以及任意正实数E，我们定义以为中心的E-球Ba(r;e) ≥ (y e x I d(a,y) <e).考虑集族B={所有的ε-球]我们将断言如下结论.命题2.3.9B是X上的拓扑基.它生成的拓扑称为由度量d诱导的度量拓扑(Metrictopology).证明月(1)VEX,取Ba(r,1),显然rEBa(r,1)(2)取B1=Ba(1,e1),B2=Ba(2,2)，且假设BinB20对于VaEBinB2.我们希望找到一个e-球B3=Ba(,)使得TEB3CBinB2我们取81=e-d(r1,a).对任意zEBa(r,81),由定义知d(a,z)81.利用三角不等式可得d(r1,z)<d(r,1) +d(,z)<d(r1,r) +i = E1因而Ba(a,i)CB1.同理，可找到球Ba(r,S2)CB2今取8=min(81,02).令B3=Ba(,0).于是r E Ba(r,) C Ba(r,01)n Ba(a,02) C Bi nB2满足所需条件.-例2.3.17X=R1上有标准度量d(r,y)=[-.Ba(a,e) = (r -e,r+e) =(y Rl [y -al<e).此时的度量拓扑就是R上的标准拓扑-15-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 定义 2.3.10 集合 X 上的度量(Metric) d : X × X −→ R 1 是指满足以下条件的函数: (1) (正定性) d(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ X, 并且 d(x, y) = 0 当且仅当 x = y. (2) (对称性) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X. (3) (三角不等式) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z), ∀x, y, z ∈ X. 我们称 d(x, y) 是 x, y 关于度量 d 的距离 (Distance). 此外, 对任意 x ∈ X 以及任意正实数 ε, 我们定义以 x 为中心的 ε-球 Bd(x; ε) △ = {y ∈ X | d(x, y) < ε}. 考虑集族 B = {所有的 ε-球}. 我们将断言如下结论. 命题 2.3.9 B 是 X 上的拓扑基. 它生成的拓扑称为由度量 d 诱导的度量拓扑 (Metric topology). 证明 (1) ∀x ∈ X, 取 Bd(x, 1), 显然 x ∈ Bd(x, 1) (2) 取 B1 = Bd(x1, ε1), B2 = Bd(x2, ε2), 且假设 B1 ∩ B2 ̸= ∅. 对于 ∀x ∈ B1 ∩ B2, 我们希望找到一个 ε-球 B3 = Bd(x, δ) 使得 x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2. 我们取 δ1 = ε − d(x1, x). 对任意 z ∈ Bd(x, δ1), 由定义知 d(x, z) < δ1. 利用三角不等式可得 d(x1, z) ≤ d(x, x1) + d(x, z) < d(x1, x) + δ1 = ε1. 因而 Bd(x, δ1) ⊆ B1. 同理, 可找到球 Bd(x, δ2) ⊆ B2. 今取 δ = min(δ1, δ2). 令 B3 = Bd(x, δ). 于是 x ∈ Bd(x, δ) ⊆ Bd(x, δ1) ∩ Bd(x, δ2) ⊆ B1 ∩ B2 满足所需条件. 例 2.3.17 X = R 1 上有标准度量 d(x, y) = |x − y|. Bd(x, ε) = (x − ε, x + ε) = {y ∈ R 1 | |y − x| < ε}. 此时的度量拓扑就是 R 1 上的标准拓扑. - 15 -
第二章点集拓扑(I)：拓扑空间例2.3.18X=R2上的标准度量d(a,y)=a-yl就是指通常的欧氏度量.ε-球Ba(c,e) = (y e R2 I lly - all <e)就是开圆盘，此时的度量拓扑就是R2上的标准拓扑例2.3.19设X是非空集合，我们定义度量（请读者自己证明）[la+yd(r,y) =lor=y这个度量诱导了离散拓扑.事实上，对任何EX，Ba (r, = (]因而每个单点集都是开集，■推论2.3.1设(X,d)是度量空间，Ba(c,e)是e-球。对任意点y E Ba(r,e),总存在球Ba(y,)满足y E Ba(y, o) C Ba(r,e).证明月令y是Bi=Ba(c,e)中任一点，B2=Ba(y,1).显见，yEBinB2由命题2.3.9的证明，可找到球B3=Ba(y,)使得y e Ba(y, ) Bin B2 C Bi这就完成了证明■例2.3.20我们回顾X=Rn中的欧氏度量.考虑两个点的坐标 = (r1,2,*,Xn),y = (y1,92,,9n)标准的欧氏度量定义为d(, y) = V(r1 - y1)2 + (r2 - y2)2 + ... + (en - yn)2■有时也记作[[c-yll.本节最后将证明如下重要结论定理2.3.1（欧氏空间的可度量化）R"上的积拓扑与Rn上的度量拓扑相同注2.3.3从上面的定理，人们可以提出一个有趣的问题：一个拓扑空间X上是否总存在度量d、使得d诱导的度量拓扑恰好就是X的拓扑呢？上述问题的答案是否定的.如果X上存在这样的度量，我们就说X是可度量化的，称之为度量空间．一个拓扑空间何时是可度量化的？■这是一个深刻的问题.后文将要介绍的可度量化定理给出了回答，在证明定理2.3.1之前，我们先做一些准备工作定义2.3.11（直径）设（X,d）是度量空间，ACX是非空子集.我们定义A的直径d(A) = supd(a, b) [ a, b E A).若d(A)<00,则称A是有界的-16-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 例 2.3.18 X = R 2 上的标准度量 d(x, y) = ||x − y|| 就是指通常的欧氏度量. ε-球 Bd(x, ε) = {y ∈ R 2 | ||y − x|| < ε} 就是开圆盘. 此时的度量拓扑就是 R 2 上的标准拓扑. 例 2.3.19 设 X 是非空集合, 我们定义度量 (请读者自己证明) d(x, y) = { 1 x ̸= y 0 x = y 这个度量诱导了离散拓扑. 事实上, 对任何 x ∈ X, Bd ( x, 1 2 ) = {x}. 因而每个单点集都是开集. 推论 2.3.1 设 (X, d) 是度量空间, Bd(x, ε) 是 ε-球. 对任意点 y ∈ Bd(x, ε), 总存在球 Bd(y, δ) 满足 y ∈ Bd(y, δ) ⊆ Bd(x, ε). 证明 令 y 是 B1 = Bd(x, ε) 中任一点, B2 = Bd(y, 1). 显见, y ∈ B1 ∩ B2. 由命题 2.3.9 的证明, 可找到球 B3 = Bd(y, δ) 使得 y ∈ Bd(y, δ) ⊆ B1 ∩ B2 ⊆ B1. 这就完成了证明. 例 2.3.20 我们回顾 X = R n 中的欧氏度量. 考虑两个点的坐标 x = (x1, x2, · · · , Xn), y = (y1, y2, · · · , yn). 标准的欧氏度量定义为 d(x, y) △ = √ (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + · · · + (xn − yn) 2. 有时也记作 ||x − y||. 本节最后将证明如下重要结论. 定理 2.3.1 (欧氏空间的可度量化) R n 上的积拓扑与 R n 上的度量拓扑相同. 注 2.3.3 从上面的定理, 人们可以提出一个有趣的问题: 一个拓扑空间 X 上是否总存在 度量 d, 使得 d 诱导的度量拓扑恰好就是 X 的拓扑呢? 上述问题的答案是否定的. 如果 X 上存 在这样的度量, 我们就说 X 是可度量化的, 称之为度量空间. 一个拓扑空间何时是可度量化的? 这是一个深刻的问题. 后文将要介绍的可度量化定理给出了回答. 在证明定理 2.3.1 之前, 我们先做一些准备工作. 定义 2.3.11 (直径) 设 (X, d) 是度量空间, A ⊆ X 是非空子集. 我们定义 A 的直径 d(A) = sup{d(a, b) | a, b ∈ A}. 若 d(A) < ∞, 则称 A 是有界的. - 16 -
第二章点集拓扑(I)：拓扑空间A的有界性强烈依赖于度量的选取，因此这并不是拓扑性质.我们将在下文证明，任何度量都可以用某个有界度量替代，它们具有相同的拓扑，我们先叙述如下结论.它在比较度量拓扑的大小时，非常实用，引理2.3.1（度量拓扑比较判则）设d,d是X上的两种度量，9,分别是它们诱导的度量拓扑，那么以下条件等价：(1) gcg(2)对任意EX及任意=>0,总存在>0,使得Ba(r,)CBa(a,e)证明月(1)(2)取中的e-球Ba(r,e).因为g且Ba(a,e)E,所以Ba(a,e)g因而存在Bd(r,)E使得EBa(r,S)Ba(r,e).(2)一(1)任取9中e-球Ba(y,r)以及任一点EBa(y,r).由推论2.3.1,存在Ba(r,e)满足rEBa(c,e)CBa(y,r)由假设条件，我们可找到球Bd(a,)，使得r E Ba(r,d) C Ba(r,e) C Ba(y,r)服由命题2.3.3.这就推出gCg命题2.3.10（有界度量）设(X,d)是度量空间，d(r,y)=min[d(r,y),1),则(1)d也是度量;(2)d和d诱导出相同的拓扑.证明用（1)d的正定性与对称性是显然的，我们来证明三角不等式d(r, y) ≤d(r, z) +d(y,z).若d(r,z),d(y,z)中的一个大于等于1,比如d(r,z)≥1,那么d(a,y) ≤1≤1+d(y,z) = d(r, z) +d(y, 2).若 d(r, z) <1 且 d(y,z) < 1, 则d(r,z) = d(r, z), d(y,z) = d(y,z), 则d(r,y) ≤d(r, y) ≤d(r,z) +d(y,z) =d(r,z) +d(y,z)综上即知，d是度量，(2)根据引理2.3.1，我们只要验证如下关系Ba(r,e) C Ba(r,e),(2-2)(2-3)Ba(r,o) C Ba(r,e)其中 8 =min[e,1].先证式(2-2).设zEBa(r,e)，即d(,之)<e.因而有d(r,2) ≤d(r,2) <e.-17-
第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 A 的有界性强烈依赖于度量的选取, 因此这并不是拓扑性质. 我们将在下文证明, 任何度量 都可以用某个有界度量替代, 它们具有相同的拓扑. 我们先叙述如下结论. 它在比较度量拓扑的大小时, 非常实用. 引理 2.3.1 (度量拓扑比较判则) 设 d, d′ 是 X 上的两种度量, T , T ′ 分别是它们诱导的度 量拓扑, 那么以下条件等价: (1) T ⊆ T ′ (2) 对任意 x ∈ X 及任意 ε > 0, 总存在 δ > 0, 使得 Bd ′ (x, δ) ⊆ Bd(x, ε). 证明 (1)=⇒(2) 取 T 中的 ε-球 Bd(x, ε). 因为 T ⊆ T ′ 且 Bd(x, ε) ∈ T , 所以 Bd(x, ε) ∈ T ′ . 因而存在 Bd ′ (x, δ) ∈ T ′ 使得 x ∈ Bd ′ (x, δ) ⊆ Bd(x, ε). (2)=⇒(1) 任取 T 中 ε-球 Bd(y, r) 以及任一点 x ∈ Bd(y, r). 由推论 2.3.1, 存在 Bd(x, ε) 满 足 x ∈ Bd(x, ε) ⊆ Bd(y, r). 由假设条件, 我们可找到球 Bd ′ (x, δ), 使得 x ∈ Bd ′ (x, δ) ⊆ Bd(x, ε) ⊆ Bd(y, r). 由命题 2.3.3, 这就推出 T ⊆ T ′ . 命题 2.3.10 (有界度量) 设 (X, d) 是度量空间, ¯d(x, y) = min{d(x, y), 1}, 则 (1) ¯d 也是度量; (2) ¯d 和 d 诱导出相同的拓扑. 证明 (1) ¯d 的正定性与对称性是显然的, 我们来证明三角不等式 ¯d(x, y) ≤ ¯d(x, z) + ¯d(y, z). 若 d(x, z), d(y, z) 中的一个大于等于 1, 比如 d(x, z) ≥ 1, 那么 ¯d(x, y) ≤ 1 ≤ 1 + ¯d(y, z) = ¯d(x, z) + ¯d(y, z). 若 d(x, z) < 1 且 d(y, z) < 1, 则 ¯d(x, z) = d(x, z), ¯d(y, z) = d(y, z), 则 ¯d(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) = ¯d(x, z) + ¯d(y, z). 综上即知, ¯d 是度量. (2) 根据引理 2.3.1, 我们只要验证如下关系: Bd(x, ε) ⊆ Bd¯(x, ε), (2-2) Bd¯(x, δ) ⊆ Bd(x, ε), (2-3) 其中 δ = min{ε, 1}. 先证式 (2-2). 设 z ∈ Bd(x, ε), 即 d(x, z) < ε. 因而有 ¯d(x, z) ≤ d(x, z) < ε. - 17 -