《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-2 方阵的特征值与特征向量

相似矩阵及二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH特征值与特征向量的概念一、定义1设A是n阶矩阵，如果数a和n维非零列向量x使关系式Ax = Ax成立，那末，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A－2E)x=0有非零解的值,即满足方程A－aE0的入都是矩阵A的特征值回顶下质

说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3.A-2E=0air -aa12aina22 - 2a21a2n=0amm-aanan2称以a为未知数的一元n次方程A－2E=0为A的特征方程记f(a)=A-aE，它是的n次多项式称其为方阵A的特征多项式上页下页回

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH4.设n阶方阵A=(a)的特征值为,2,…元,,则有(1) a, + 2 +...+ an = ai1 +a22 +...+am;(2)2,22 .. 2, =A页回下页

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3-1例1求A二的特征值和特征向量-13解A的特征多项式为3-元-12=(3-) - 1-13-=8-6+ 2=(4-)(2—)所以A的特征值为α1 = 2,α2 = 4.当α,=2时,对应的特征向量应满足(3-2 -1 (x)20-1 3-2八x2)0上页画下页

解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量   − − A = A的特征多项式为  − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1    =   − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足