数集的确界sm0是自然数集N的一个特殊的下界。{0是自然数集N的一个下界;0是自然数集N最大的下界。(比0大的数都不是N的下界。定义对非空实数集ECR，若日αER，满足(1)VxEE,有x≥α;(2)>0,E,使得α+,则称α是E的下确界，记为α=infE。类似可定义实数集E最小的上界为上确界，记为β=supE。14
14 数集的确界 0 是自然数集 � 的一个特殊的下界。 0 是自然数集 � 最大的下界。⟺ � 是自然数集 � 的一个下界； 比 � 大的数都不是 � 的下界。 定义 对非空实数集 � ⊂ �，若 ∃ � ∈ �，满足 (1) ∀ � ∈ �，有 � ≥ �; (2) ∀ � > �，∃ �� ∈ �，使得 �� < � + �， 则称 � 是 � 的下确界，记为 � = ��� �。 类似可定义实数集 � 最小的上界为上确界，记为 � = ��� �
数集的确界与最值已知 min N = O = inf N,对一般有界集E，是否有minE=infE?maxE=supE?注对一般有界集E，minE与maxE未必存在。若minE或maxE存在，则相应有minE=infE及maxE=supE。15
15 数集的确界与最值 已知 𝐠� � = � = ��� �， 对一般有界集 �，是否有 𝐠� � = ��� �？ �𝐞 � = ��� �？ 注 对一般有界集 �，𝐠� � 与 �𝐞 � 未必存在。 若 𝐠� � 或 �𝐞 � 存在， 则相应有 𝐠� � = ��� � 及 �𝐞 � = ��� �
数集的确界与最值m注，若数集E无上界，则亦无上确界，记为supE=+8o。确界存在定理非空实数集E有上（下）界，则必有上（下）确界。说明3现代数学的体系是建立在实数的连续性上的。实数的连续性则是建立在无理数的严格定义上。无理数的严格定义，使用的方法称为戴德金分割。戴德金分割原理在微积分中地位可视为平面几何中的公理。而由戴德金分割原理，即可得到确界存在定理。16
16 数集的确界与最值 确界存在定理 非空实数集 � 有上（下）界，则必有上（下）确界。 说明 现代数学的体系是建立在实数的连续性上的。 实数的连续性则是建立在无理数的严格定义上。 无理数的严格定义，使用的方法称为戴德金分割。 戴德金分割原理在微积分中地位可视为平面几何中的公理。 而由戴德金分割原理，即可得到确界存在定理。 注 若数集 � 无上界，则亦无上确界，记为 ��� � =+ ∞
数集的确界与最值n1(12的下确界为例证明数集A=上确界为1。2,.2131An+117
17 数集的确界与最值 例 证明数集 � = � � , � � , � � , ⋯, � �+� , ⋯ 的下确界为 1 �，上确界为 1
数集的确界与最值例求数集A=[0.9,0.99,0.999,0.9999,的最大值及上确界。18
18 数集的确界与最值 例 求数集 � = �. �, �. ��, �. ���, �. ����, ⋯ 的最大值及上确界