《线性代数》典型习题1、设A是四阶方阵，且A=0，则矩阵A中C（A）必有一列元素全为0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合2、n维向量组α,α2",α，（3≤s≤n）线性无关的充要条件是D（A)存在一组不全为0的数k,k,,",k，使得k,α,+k,α,+..k,α，0（B）αi,α2,α,中任意两个向量都线性无关（C）α,α2"",α，中存在一个向量不能用其余向量线性表示（D）αi,αz，"",α，中任意一个向量都不能用其余向量线性表示3、设向量组α,αz…,α,线性无关，讨论向量组α+α，αz+α.…α-+αw，α,+α,的线性相关性。解设存在一组数x,x2，"",x，使得x(α +α2)+x2(α2+α)+***+xn-I(αn- +α,)+x,(an+α)=0即 (x +x,)a +(x) +x2)α, +.*+(x-2 +Xn--)an- +(X-I +x)a, =0由于αα2…α,线性无关，于是有-
1 《线性代数》典型习题 1、设 A 是四阶方阵，且 | A|= 0 ，则矩阵 A 中 C （A）必有一列元素全为 0 （B）必有两列元素对应成比例 （C）必有一列向量是其余列向量的线性组合 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合 2、n 维向量组 s , , , 1 2 （ 3 s n ）线性无关的充要条件是 D （A）存在一组不全为 0 的数 s k ,k , ,k 1 2 ，使得 k11 + k2 2 +ks s 0 （B） s , , , 1 2 中任意两个向量都线性无关 （C） s , , , 1 2 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 （D） s , , , 1 2 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 3、设向量组 n , , , 1 2 线性无关，讨论向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ，.， n−1 + n ， n +1 的线性相关性。 解 设存在一组数 n x , x , , x 1 2 ，使得 x1 (1 + 2 ) + x2 ( 2 +3 ) ++ xn−1 ( n−1 + n ) + xn ( n +1 ) = 0 即 (x1 + xn )1 + (x1 + x2 ) 2 ++ (xn−2 + xn−1 ) n−1 + (xn−1 + xn ) n = 0 由于 n , , , 1 2 线性无关，于是有
[x, +x, =0X +X2 =0Xx-I + Xi-I = 0[Xn-I + X, = 0又由于此方程组的系数行列式0100.+.1000-...0100.1D.=1+(-1)n00001.+*00101..当n为奇数时，D,=2*0，此方程组只有零解，x=x2=…=x=0，从而向量组α+α2，αz+α…，α,+α,线性无关；当n为偶数时，D=0，此方程组有非零解，从而向量组α+α2，αz+α，…，α,+α,线性相关4、设向量组ααz,α,线性相关，而向量组α,α,α线性无关，问（1）α,能否由αz,α,线性表示？证明你的结论；（2）α能否由α,αz,α,线性表示？证明你的结论。证明（1）α,能由αz,α,线性表示。由于αz,α,α,线性无关，于是α2,α也线性无关，而αα2,α线性相关，故α,能由α2α,线性表示（2)α不能由ααα线性表示。（采用反证法如果α能由αα2α线性表示，则存在一组数k,k,k，使得2
2 + = + = + = + = − − − 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 n n n n n x x x x x x x x 又由于此方程组的系数行列式 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Dn = +n = + − 1 1 ( 1) 当 n 为奇数时， Dn = 2 0 ，此方程组只有零解， x1 = x2 == xn = 0 ，从 而向量组 1 + 2， 2 + 3，.， n +1 线性无关；当 n 为偶数时， Dn = 0 ， 此方程组有非零解，从而向量组 1 + 2， 2 + 3 ，.， n +1 线性相关。 4、设向量组 1 2 3 , , 线性相关，而向量组 2 3 4 , , 线性无关，问 （1） 1 能否由 2 3 , 线性表示？证明你的结论； （2） 4 能否由 1 2 3 , , 线性表示？证明你的结论。 证明 （1） 1 能由 2 3 , 线性表示。由于 2 3 4 , , 线性无关，于是 2 3 , 也线性无关，而 1 2 3 , , 线性相关，故 1 能由 2 3 , 线性表示。 （2） 4 不能由 1 2 3 , , 线性表示。（采用反证法）如果 4 能由 1 2 3 , , 线性表示，则存在一组数 1 2 3 k ,k ,k ，使得
(1)a,=k,a +k,az+ka又由于α,能由α2,α,线性表示，即存在一组数,，使得(2)α=+α将（2）代入（1），得到,=k,(a+)+k+ka=(,+)α+(,+k)α这表明α能由α2,α,线性表示，从而α2,α3α线性相关，这与已知αzαα,线性无关矛盾，故α,不能由ααzα,线性表示。5、设向量组αi,α2"",α（α,0）中任一向量α,都不能由它前面的i-1个向量线性表示，试证：向量组αi,α2",αm线性无关。证明月（采用反证法）若向量组α,α2，,α线性相关，则存在一组不全为0的数ki,kz,…,km，使得(1)kja+k,az+...+km-jαm-+kmam=0下证km=0，（采用反证法）若k￥0，则有ka-ka.-km-lαm-lαm=-Kakmkm这表明α可由它前面的m-1个向量αj,α2,,αm-线性表示，与已知矛盾，故km=0，从而（1）化为3
3 4 11 2 2 33 = k + k + k （1） 又由于 1 能由 2 3 , 线性表示，即存在一组数 2 3 , ，使得 1 = 2 2 + 33 （2） 将（2）代入（1），得到 4 1 2 2 3 3 2 2 3 3 = k ( + ) + k + k 1 2 2 2 1 3 3 3 = (k + k ) + (k + k ) 这表明 4 能由 2 3 , 线性表示，从而 2 3 4 , , 线性相关，这与已知 2 3 4 , , 线性无关矛盾，故 4 不能由 1 2 3 , , 线性表示。 5、设向量组 m , , , 1 2 （ 1 0 ）中任一向量 i 都不能由它前面的 i −1 个向量线性表示，试证：向量组 m , , , 1 2 线性无关。 证明 （采用反证法）若向量组 m , , , 1 2 线性相关，则存在一组 不全为 0 的数 m k ,k , ,k 1 2 ，使得 k11 + k2 2 ++ km−1 m−1 + km m = 0 （1） 下证 km = 0 ，（采用反证法）若 km 0 ，则有 1 1 2 2 1 1 − − = − − − − m m m m m m k k k k k k 这表明 m 可由它前面的 m −1 个向量 1 2 1 , , , m− 线性表示，与已知矛 盾，故 km = 0 ，从而（1）化为
k,α, +k,α, +...+km-2αm-2 +km-αm-- =0再证km-1=0，（同样采用反证法）若km-1≠0，则有kik,km-2αm-1amkm-1km-lkm-1这表明αm可由它前面的m-2个向量α,αzαm-线性表示，与已知矛盾，故km-=0同理可证，km-2=0，km-3=0，…，kz=0，之后得到kα=0，又已知α￥0，从而有k=0因此证得k=k,=.…=km=0，这与k，k,，"k不全为0矛盾，故向量组α,α,，,α线性无关6、设向量组α,αz,**,α，线性无关，且有β,=aα,+ai2α+...+ammβ,=a2α,+aa,+.+a2mam[βm=amα+am2α,+.+ammm证明向量组β.β.…,β线性无关的充要条件是ana12aima21a22a2m..±0.amam2..amm证明设存在一组数x，x2，,x，使得XB,+xβ+..+xmB.=04
4 k11 + k2 2 ++ km−2 m−2 + km−1 m−1 = 0 再证 km−1 = 0 ，（同样采用反证法）若 km−1 0 ，则有 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 − − − − − − = − − − − m m m m m m k k k k k k 这表明 m−1 可由它前面的 m − 2 个向量 1 2 2 , , , m− 线性表示，与已知矛 盾，故 km−1 = 0 . 同理可证， km−2 = 0 ， km−3 = 0，.， k2 = 0 ，之后得到 k11 = 0 ，又 已 知 1 0 ，从而有 k1 = 0 . 因此证得 k1 = k2 == km = 0 ，这与 m k ,k , ,k 1 2 不全为 0 矛盾，故向量组 m , , , 1 2 线性无关。 6、设向量组 m , , , 1 2 线性无关，且有 = + + + = + + + = + + + m m m m m m m m m m a a a a a a a a a 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 证明向量组 m , , , 1 2 线性无关的充要条件是 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 m m m m m m a a a a a a a a a 证明 设存在一组数 m x , x , , x 1 2 ，使得 x11 + x2 2 ++ xm m = 0
将β，β,，"β的表达式代入上式，得到x(aa+aa+...+amam)+x(aa,+a2a+.+amam)+..+x.(amaj+am2α,+.+ammam)=0即(ap,+a2r,++amxm)a+(a2x,+a22x2+...+am2xm)a2-+(am,+a2m*2++amm*m)αm=0由于α,α,,α线性无关，于是有a+a2+.+amXm=0ai2x,+a22x2+...+am2x.=0[amX/+a2mX2+*+ammXm=0又由于该齐次线性方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式[aa21aml...a12a22.+am2D.m±0...amazm...amm而DT=D，所以向量组β,β,β线性无关的充要条件是aa2...auma21a22.*a2m±0......amlam2amm...5
5 将 m , , , 1 2 的表达式代入上式，得到 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 ( ) ( ) m m m m x a a a x a a a + + + + + + + 1 1 2 2 ( ) 0 m m m mm m + + + + + = x a a a 即 ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 + + + + = + + + + + + + + m m m m m m m m m m a x a x a x a x a x a x a x a x a x 由于 m , , , 1 2 线性无关，于是有 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 m m m m m m m m m a x a x a x a x a x a x a x a x a x 又由于该齐次线性方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 = m m m m m m m a a a a a a a a a D 而 m T Dm = D ，所以向量组 m , , , 1 2 线性无关的充要条件是 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 m m m m m m a a a a a a a a a