区间区间：实数集R的一类特定的子集。(a,b)=(xla<x<b)开区间;[a,b]=(x|a≤x≤b}闭区间;有限区间(a,bl=(xla<x<b}半开半闭区间;[a, + 0) = (x| x ≥ a};(-00, b) =(x / x<b};无限区间(-00,+80)=实数集R。00负无穷大，+0正无穷大，0无穷大
9 区间 区间：实数集 � 的一类特定的子集。 (�, � = � | � < � < � 半开半闭区间； �, � = � | � ≤ � ≤ � 闭区间； (�, �) = � | � < � < � 开区间； (−∞, + ∞) = 实数集 �。 (−∞, �) = � | � < � ； �, + ∞) = � | � ≥ � ； 有限区间 无限区间 −∞ 负无穷大， + ∞ 正无穷大，∞ 无穷大
邻域8m邻域：一类特定的区间。区间(xo一S,xo+)称为实数xo的邻域，记为U(xo,);区间(xo-S,xo)(xo,Xo+)称实数xo的去心邻域，记为ü(xo,);若不强调8，也记为U(xo)或ü(xo);区间(xo一8,xol称为实数xo的左8邻域；区间(xo,Xo十)称为实数Xo的右去心8邻域。例 U(1,号)例 ü(3,2)10
10 邻域 邻域：一类特定的区间。 区间 (�� − �, �� + �) 称为实数 �� 的 � 邻域，记为 �(��, �)； 区间 (�� − �, ��) ∪ (��, �� + �) 称实数 �� 的去心 � 邻域，记为 �(��, �)； 。 若不强调 �，也记为 �(��) 或 �(��)； 。 区间 (�� − �, �� 称为实数 �� 的左 � 邻域； 区间 (��, �� + �) 称为实数 �� 的右去心 � 邻域。 例 �(�, � � ) 例 �(�, �)
不等式与数学归纳法[xl - [yll ≤ [x ± yl ≤ [x] + [yl绝对值不等式伯努利不等式若x≥0，则(1+x)n≥1+nx。算术-几何平均不等式（A-G不等式）设 x1 x2. n E + 则+*++ ≥ /Xx1x2n。n柯西-施瓦茨不等式 (Zh=1 akbk)"≤(Zh=1 α%)·(Zh=1 b%)
11 不等式与数学归纳法 绝对值不等式 |�| − |�| ≤ |� ± �| ≤ |�| + |�| 算术-几何平均不等式（A-G不等式） 设 ��, ��, ⋯, �� ∈ �+，则 ��+��+⋯+�� � ≥ � ����⋯��。 伯努利不等式 若 � ≥ �，则 (� + �)� ≥ � + ��。 柯西-施瓦茨不等式 �=� � ���� � ≤ �=� � �� � ⋅ �=� � �� �
数集的界sm定义对非空实数集ECR，(1)若3MER，使得VxEE，有x≤M一个上界；则称E是有上界的，称M是E的(2)若日mER，使得VxEE，有x≥m则称E是有下界的，称m是E的一个下界；(3)若E既有上界，又有下界，则称E是有界的。一个界。即日M>O，使得VxEE，有Ixl≤M。M是E的注若数集E有一个上界，必有无穷多个上界。12
12 数集的界 定义 对非空实数集 � ⊂ �， (1) 若 ∃ � ∈ �，使得 ∀� ∈ �，有 � ≤ �， 则称 � 是有上界的，称 � 是 � 的一个上界； (2) 若 ∃ � ∈ �，使得 ∀� ∈ �，有 � ≥ �， 则称 � 是有下界的，称 � 是 � 的一个下界； (3) 若 � 既有上界，又有下界，则称 � 是有界的。 即 ∃ � > �，使得 ∀ � ∈ �，有 |�| ≤ �。 �是 � 的一个界。 注 若数集 � 有一个上界，必有无穷多个上界
数集的界8例讨论自然数集N={0,1,2,}的界。若3MER，使得VxEE，有x≤M，则称E是有上界的。若VMER，均3xEE，使得x>M，则称E是无上界的。对VMER,均3nEN, 且n>M,所以，自然数集N无上界，是一个无界集。13
13 数集的界 例 讨论自然数集 � = �, �, �, ⋯ 的界。 对 ∀ � ∈ �，均 ∃ � ∈ �，且 � > �， 若 ∃ � ∈ �，使得 ∀ � ∈ �，有 � ≤ �，则称 � 是有上界的。 若 ∀ � ∈ �，均 ∃ � ∈ �，使得 � > �，则称 � 是无上界的。 所以，自然数集 � 无上界，是一个无界集