61动("v)dSST02u0E21b华中6012t(iv)d79中01计P()dStSI20中601('v)d009-0中26(v)dSSIt=6=N1..z1o=u("v)d(9zuu=W
律，从中可提取更多信息，研究随机现象更深层次的问题。从第二章开始，随机变量及其概率分布将是我们主要研究对象例1.2.4（放回抽样）抽样有两种方式：不放回抽样与放回抽样.上例讨论的是不放回抽样放回抽样是抽取一件后放回，然后再抽取下一件，如此重复直至抽出n件为止.现对上例1.2.3在有放回抽样情况下，讨论事件B，=“取出的n件产品中有m件不合格品”的概率解同样我们先计算样本空间Q中样本点的总数：第一次抽取时，可从N件中任取一件，有N种取法，因为是放回抽取，所以第二次抽取时，仍有N种取法，，如此下去，每一次都有N种取法，一共抽取了n次，所以共有”个等可能的样本点。事件B。=“取出的n件产品全是合格品"发生必须从N-M件合格品中有放回地抽取n次，所以B。中含有（N-M）个样本点，故B。的概率为P(B.)=(N-M)"=(1 -) "NA事件B=“取出的n个中恰有1件不合格品”发生必须从N-M件合格品中有放回地抽取n-I次，从M件不合格品中抽取1次，这样就有M·（N-M）*-种取法，再考虑到这个不合格品可能在第一次抽取中得到，也可能在第二次抽取中得到，，也可能在第n次抽取中得到，总共有n种可能.所以B，中含有n·M·（N-M）个样本点，故B，的概率为P(B,)=nM(N-M)-MTV1NNN事件B=“取出的n件中恰有m件不合格品”发生必须从N-M件合格品中有放回地抽取n-m次，从M件不合格品中有放回地抽取m次，这样就有M，N-M）*-"种取法，再考虑到这m件不合格品可能在n次中的任何m次抽取中M"（N-M）-个样本点，故B的种可能.所以事件B含有得到，总共有概率为M"（N-M).-"P(B)=NA1-M)(1.2.7)、m=0,1,2,.,n.N由于是放回抽样，不合格品在整批产品中所占比例M/N是不变的，记此比例为P，则上式可改写为P(B_)=p(1-p）m,m=0,1,2,n·20·
同样取N=9，M=3，n=4，则有16P(Bo) =(1 -号)=(今)=8132()P(B )=4-3"81'P(0.) -(+) ()-1P(0) -( () -"=P(B,)=将以上计算结果列成一个表格（表1.2.5）：表1.2.5事件B的概率12340m24813216P(B.)8181818181表中的概率之和为1，它也是一个概率分布.从上表中我们可以看出：163216P(m≤1)=P(m=0)+P(m=1)818127例1.2.5（彩票问题）一种福利彩票称为幸运35选7，即购买时从01，02.···35中任选7个号码，开奖时从0102，.35中不重复地选出7个基本号码和一个特殊号码.中各等奖的规则如下（表1.2.6）：表1.2.6幸运35选7的中奖规则中奖规则中奖级别一等奖7个基本号码全中二等奖中6个基本号码及特殊号码三等奖中6个基本号码四等奖中5个基本号码及特殊号码中5个基本号码五等奖中4个基本号码及特殊号码六等奖中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码七等奖试求各等奖的中奖概率解因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间Q含有:21
样本点，要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码第二类号码：1个特殊号码、第三类号码：27个无用号码注意到例1.2.3中是在两类元素（合格品和不合格品）中抽取，如今在三类号码中抽取，若记P为中第等奖的概率（=1，2..7）.仿照例1.2.3的方法，可得各等奖的中奖概率如下：271=0.149×10-606724520357=1.04×10-667245201896 724 520= 28. 106×10-635567=84.318×10-667245203573711.096x10~3672452035122851.827×10-672452035204750=30.448×10-D.6724520357若记A为事件“中奖”，则A为事件“不中奖”，且由P（A）+P（A）=P（Q)=1.22
可得P(中奖)=P(A)=P+Pa+Ps+a+Ps+P+P225170=0.033485,6724520P(不中奖)=P(A)=1-P(A）=0.966515这就说明：一百个人中约有3人中奖，而中头奖的概率只有0.149×10-即两千万个人中约有3人中头奖.因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高例1.2.6（盒子模型）设有n个球，每个球都等可能地被放到N个不同盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限，试求（1）指定的n（n≤N）个盒子中各有一球的概率pr；（2）恰好有n（n≤N）个盒子各有一球的概率P解因为每个球都可放到N个盒子中的任一个，所以n个球放的方式共有N种，它们是等可能的（1）因为各有一球的n个盒子已经指定，余下的没有球的N-n个盒子也同时被指定，所以只要考虑几个球在这指定的几个盒子中各放1个的放法数.设想第1个球有n种放法，第2个球只有n-1种放法，.第n个球只有1种放法，所以根据乘法原则，其可能总数为n！，于是其概率为=n!(1.2.8)Pi"N（2）与（1）的差别在于：此n个盒子可以在N个盒子中任意选取此时可分V两步做：第一步从N个盒子中任取几个盒子准备放球，共有种取法：第二步将n个球放入选中的n个盒子中，每个盒子各放1个球，共有n！种放法，所以根据乘法原则共有·n!=PN=N(N-I)(N-2)(N-n+I)种放法，其实这个放法数可以更直接的考虑成：第1个球可放在N个盒子中的任一个，第2个球只可放在余下的N-1个盒子中的任一个…·，第n个球只可放在余下的N-一n+1个盒子中的任一个，由乘法原则即可得以上放法数，因此所求概率为PM=N!(1.2.9)Pa"N"N(N-n)!表面上看，盒子模型讨论的是球和盒子问题，似乎是一种游戏，但实际上我们可以将这个模型应用到很多实际问题中，警如将球解释为“粒子”，把盒子解释为相空间中的小“区域”，则这个问题便是统计物理学中的麦克斯威-玻尔兹·23