曼（Maxwell-Boltzmann）统计.若n个“粒子”是不可辨的，便是玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）统计，若n个“粒子”是不可辨的，且每个“盒子”里最多只能放一个“粒子”，这时就是费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计这三种统计在物理学中有各自的适用范围，详细情况请参看文献1].下面我们用盒子模型来讨论概率论历史上颇为有名的“生日问题”。例1.2.7（生日问题）n个人的生日全不相同的概率P，是多少？解把n个人看成是n个球，将一年365天看成是N=365个盒子，则“n个人的生日全不相同就相当于“恰好有n（n≤N）个盒子各有一球”所以n个人的生日全不相同的概率为365!(1.2.10)365) (1-365) (1-P."365(365-n)!365上式看似简单，但其具体计算是烦琐的，对此可用以下方法作近似计算：都a）当n较小时，（1.2.10）式右边中各因子的第二项之间的乘积365365可以忽略，于是有近似公式P, =1-1+2+ *6+(n - 1)=1-n(n-1)(1:2.11)730365b）当n较大时，因为对小的正数x.有1n（1-αx）=-x所以由（1.2.10）式得1+2++（n-1)-n(n-1)(1.2.12)Ina~730365例如当n=10时，由（1.2.12）式给出的近似值为0.8840而精确值为P0.8831n=30时，近似值为0.3037，精确值为p=0.2937.这个数值结果是令人吃惊的，因为许多人会认为：一年365天，30个人的生日全不相同的可能性是较大的，至少会大于1/2.甚至有人会认为：100个人的生日全不相同的可能性也是较大的对一些不同的m值，表1.2.7列出用（1.2.12）近似公式计算出的P值表1.2.7P的近似值603040501020n0.00780.30370.11800.03490.5942P.0.88400.99220.96510.40580.69630.88201-P0.1160表中最后一行是对立事件“n个人中至少有两个人生日相同”的概率1-P当n=60时，1-p=0.9922表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过99%，这是出乎人们预料的，而进一步的计算我们可以得出：当n>23时，有1-p,>0.5..24
1.2.5确定概率的几何方法确定概率的几何方法，其基本思想是：（1）如果一个随机现象的样本空间2充满某个区域，其度量（长度、面积或体积等）大小可用S。表示（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的，警如在样本空间Q中有一单位正方形A和直角边为1与2的直角三角形B，而点落在区域A和区域B是等可能的，因为这两个区域面积相等（见图1.2.2）（3）若事件A为2中的某个子区域（见图1.2.3），且其度量大小可用S表示，则事件A的概率为S.(1.2.13)P(A)=Sa这个概率称为几何概率，它满足概率的公理化定义求几何概率的关键是对样本空间Q和所求事件A用图形描述清楚（一般用平面或空间图形）然后计算出相关图形的度量（一般为面积或体积）：291图1.2.3几何概率图1.2.2落在度量相同的子区域内的等可能性甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，例1.2.8（会面问题）并约定先到者应等候另一个人20min，过时即可离去.求两人能会面的概率解以和y分别表示甲、乙两人到达约会3地点的时间（以min为单位），在平面上建立xO）602直角坐标系（见图1.2.4）.因为甲乙都是在0至60min内等可能地到达，所以由等可能性知这是一个儿何概率问题（，20y）的所有可能取值是边长为60的正方形，其面积60x可20为S=60而事件A=“两人能够会面”相当于x-yl≤20,会面问题中的Q与A图1.2.4即图中的阴影部分，其面积为S=60°-40由图-25
（1.2.13）式知SAE602-402SP(A)==0.55569S.602结果表明：按此规则约会，两人能会面的概率不超过0.6.若把约定时间改为在下午6时到6时30分，其他不变，则两人能会面的概率提高到0.8889例1.2.9（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为d（d>0）的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为（l<d）的针，求针与任一平行线相交的概率解以表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角，见图1.2.5.易知样本空间2满足0≤xd/20≤9≤m由这两式可以确定x-平面上的一个矩形Q.这就是样本空间，其面积为S。=d/2.这时针与平行线相交（记为事件A）的充要条件是1≤sin.2由这个不等式表示的区域是图1.2.6中的阴影部分，Ix2d21sinp0d04图1.2.6蒲丰投针间题中的2和A图1.2.5蒲丰投针问题由于针是向平面任意投掷的，所以由等可能性知这是一个几何概率问题，由此得sin gdoS.219P(A)=dSnd27如果I，d为已知，则以的值代入上式即可计算得P（A）之值.反之，如果已知P（A）的值，则也可以利用上式去求T.而关于P（A）的值，可用从试验中获得的频率去近似它：即投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率n/N可作为PA）的估计值，于是由21n~ P(A) =Ndr. 26
可得2INTdn历史上有一些学者曾亲自做过这个试验，下表记录了他们的试验结果Vd试验者年份投掷次数相交次数T的近似值Wolf18500.8500025323.1596Fox18840.7510304893.159.5Lazzerini1 9010.833.40818083.1415Reina19250.5485925203.1795这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验.以频率估计概率，即可求得未知数的近似解一般来说，试验次数越多，则求得的近似解就越精确，随着计算机的出现，人们便可利用计算机来大量重复地模拟所设计的随机试验，这种方法得到了迅速的发展和广泛的应用人们称这种方法为随机模拟法，也称为蒙特卡罗（MonteCarlo)法.例1.2.10在长度为a的线段内任取两点将其分为三段，求它们可以构成一个三角形的概率解由于是将线段任意分成三段，所以由等可能性知这是一个几何概率问题分别用，y和a-x-y表示线段被分成的三段长度，见图1.2.7，则显然应该有o<x<a,o<y<a,o<a-(x+y)<a.第三个式子等价于0<x+y<a.所以样本空间为（见图1.2.8）Q=l(x,y):o<x<a,0<y<a,o<x+y<al.Q的面积为aSa2aya-x-y可图1.2.7长度为a的线段分成三段图1.2.8线段分成三段的样本空间Q又根据构成三角形的条件：三角形中任意两边之和大于第三边，得事件A.27
所含样本点（）必须同时满足0<a-(x+y)<x+y,0<x<y+(a-x-y),o<y<x+(a-ax).整理得以aaaaO<YS0<x<x+y<a.222af2所以事件A可用图1.2.9中的阴影部分表示事件A的面积为X可aa/20S.8u图1.2.9构成三角形的条件由此得1P(A)4例1.2.11（贝特朗奇论[11）在一圆内任取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少？这是一个几何概率问题，它有三种解法，具体如下：解法一由于对称性，可只考察某指定方向的弦作一条直径垂直于这个方向.显然，只有交直径于1/4与3/4之间的弦才能超过正三角形的边长（见图1.2.10（a）），如此，所求概率为1/2(b)(c)(a)图1.2.100贝特朗奇论的三种解法解法二由于对称性，可让弦的一端点固定，让另一端点在圆周上作随机移动.若在固定端点作一切线，则与此切线交角在60°与120°之间的弦才能超过正三角形的边长（见图1.2.10（b）），如此，所求概率为1/3.解法三圆内弦的位置被其中点唯一确定，在圆内作一同心圆，其半径仅为大圆半径的一半，则大圆内弦的中点落在小圆内，此弦长才能超过正三角形的边长（见图1.2.10（c））如此，所求概率为1/4同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，:28