华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 大数定律与中心极限定理 §4.4 中心极限定理（带墨迹）

第1页第四章大数定律与中心极限定理$4.4中心极限定理4.4.1独立随机变量和设（X）为独立随机变量序列，记其和为讨论独立随机变量和的极限分布本指出极限分布为正态分布4April 2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §4.4 中心极限定理 ➢ 讨论独立随机变量和的极限分布, ➢ 本指出极限分布为正态分布. 4.4.1 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 1 n i i Y X n = =

第2页第四章大数定律与中心极限定理4.4.2独立同分布下的中心极限定理YXY= X.tX,+Xn定理4.4.1林德贝格一勒维中心极限定理E()=n μ2M设(X)为独立同分布随机变量序列，数学期DYI=nG望为μ,方差为2>0，则当n充分大时，有Yo-nX -nμep=4)*EYX)=0,f-limP(=Φ(y)yn→00an F(y)=)当ni寸，F(u)应用之例：误差分析正态随机数的产生；XiMukY*M(oU)4 April 2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第2页 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有 1 lim ( ) n i i n X n n P y y   = →  −  =             应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析

第3页第四章大数定律与中心极限定理例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率？解：设箱中第i袋味精的净重为X，则X独立同分布，且E(X)=100，Var(X)=100,由中心极限定理得，所求概率为：20020500-200×100X,>20500~1-ΦV200×100=1-Φ(3.54)=0.0002(很小)故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.00024 April 2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第3页 例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi , 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi )=100，Var(Xi ) =100， 由中心极限定理得，所求概率为： 200 1 20500 200 100 20500 1 200 100 i i P X =     −      −         = −  1 (3.54) = 0.0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)

第4页第四章大数定律与中心极限定理例4.4.2设X为一次射击中命中的环数，其分布列为X108670.030.80.10.050.02P求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率解：设X为第i次射击命中的环数，则X独立同分布且E(X)=9.62，Var(X)=0.82，故O930-100×9.62900-100×9.62900930L100x0.82V100x0.82=Φ(- 3.53)-Φ(6.85)= 0.999794 April 2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第4页 例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. X P 10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03 解: 设 Xi为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布， 且 E(Xi ) =9.62，Var(Xi )=0.82，故 100 1 930 100 9.62 900 100 9.62 900 930 100 0.82 100 0.82 i i P X =       −  −        −               =  − −  ( 3.53) (6.85) = 0.99979

第5页第四章大数定律与中心极限定理4.4.3二项分布的正态近似定理4.4.2莫弗一拉普拉斯中心极限定理设u,为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当nXinbu.p)充分大时，有从=芝XiN(npp&)XX,-Xn iidμn-nplim P≤y(=Φ(y)n-002Xi-Pnpqy)ImtH是林德贝格一勒维中心极限定理的特例4April2025华东师范大学

第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第5页 4.4.3 二项分布的正态近似 定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有 lim ( ) n n np npq P y y  →     −        =  是林德贝格—勒维中心极限定理的特例