《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章课件_6.4复合求导

第八章第四节多元复合函数的求导法则一元复合函数y=f(u), u=@(x)dydy du求导法则dxdu dx微分法则dy= f(u)du=f(u)p'(x)dx本节内容：多元复合函数求导的链式法则一、二、多元复合函数的全微分HIGHEDUCATIONPRESS机动目录下页返回结束上页

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章

一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数u=(t),v=y(t)在点t可导,z=f(u,v)在点(u,v)处偏导连续，则复合函数 z= f(Φ(t), (t)在点t可导，且有链式法则dzOz du.Oz diOu dtay didt说明：若定理中f(u,v)在点(u,v)偏导数连续减弱为偏导数存在则定理结论不一定成立HIGHEDUCATIONPRESS机动目录下页返回结束上页

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 若定理中 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微例如, z= f(u,v,w)1)中间变量多于两个的情形u=@(t),v=y(t), w=o(t)Oz dvzdwdzaz dudt ou dt 'Ov dt"owdt= fi''+ f'y'+ f'o"2）中间变量是多元函数的情形.例如z=f(u,v), u=p(x,y), v=y(x,y)Ozdz u0z Ov= figi+ f2yiOxduayddxzdzduX= fi'P2 + f2V2OvdyOudyHIGHEDUCATION PRESS机动目录下页返回结束上页

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u =  (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   1 2 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u =  (t), v = (t), w = (t)

又如, z=f(x,v), V=y(x,y)当它们都具有可微条件时，有atX= f' + f2 ViaxaxaxXdf070f2V2ayO2af不同，这里注意：oxxafOzox表示固定y对x求导表示固定对x求导ax口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导DLHIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀:分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Oz0z例l.设z=e"sinv,u= xy，=x+y,求ax'Oyz auOz Ovdz解：axOu OxOv Oxsinv.y +eu cosv.l=eu= e*y[y· sin(x+ y)+ cos(x + y))dzOuOz OvVXyxQu ay+v ayaysinv.x +eu cosv.l=euO:y[x· sin(x + y)+ cos(x+ y)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束