华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.4 多维随机变量的特征数

第1页第三章多维随机变量及其分布$3.4多维随机变量的特征数本节主要给出X与Y的相关系数4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 本节主要给出 X 与 Y 的相关系数 §3.4 多维随机变量的特征数

第2页第三章多维随机变量及其分布3.4.1多维随机变量函数的数学期望定理 3.4.1设（X,Y)是二维随机变量Z=g(X, Y),则ZZSg(x.y,)puE(Z) = E[g(X, Y] =g(x, y)p(x, y)dxdy4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则 E(Z) = E[g(X, Y)] = ( , ) ( , ) ( , )d d i j ij i j g x y p g x y p x y x y + + − −         

第3页第三章多维随机变量及其分布MZg(x,.y,)p课堂练习E(Z) = E[g(X, Y] =t0g(x, y)p(x, y)dxdy例3.4.1在长为α的线段上任取两点X-o00求 E(IX-YI)与Y，求两点间的平均长度00<Ysa<a.CXp(x,y)=0.其他(y-x)dydxdxd(x-y)dydx+ECIX-YI)aa0dxax+c24April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 课堂练习 例3.4.1在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 求 E(|X−Y|) E(Z) = E[g(X, Y)] = ( , ) ( , ) ( , )d d i j ij i j g x y p g x y p x y x y + + − −         

第4页第三章多维随机变量及其分布3.4.2 数学期望与方差的运算性质1: E(X+Y)=E(X)+E(Y) (性质3.4.1)当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)(性质3.4.2)4April2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2)

第5页第三章多维随机变量及其分布讨论X+Y的方差1. Var(X±Y) = Var(X)+ Var (Y) ±2E) [X-E(XI[Y-E(Y] )2.E: [X-E(XI[Y-E(Y) = E(XY) - E(XE(Y)3.当X与Y独立时，E![X-E(X][Y-E(Y)]=04.当X与Y独立时Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)注意：以上命题反之不成立4.April 2025

第三章 多维随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 讨论 X+Y 的方差 1. Var(XY) 3. 当X与Y独立时， 4. 当X与Y独立时， 2.E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] } 注意：以上命题反之不成立. = E(XY) − E(X)E(Y) E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] } = 0. Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) . = Var(X)+ Var (Y) 2E{ [X−E(X)][Y−E(Y)] }