第1页第四章大数定律与中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理$4.1随机变量序列的两种收敛性$4.2特征函数$4.3大数定律$4.4中心极限定理4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §4.1 随机变量序列的两种收敛性 §4.2 特征函数 §4.3 大数定律 §4.4 中心极限定理 第四章 大数定律与中心极限定理
第2页第四章大数定律与中心极限定理$4.2特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第2页 §4.2 特征函数 特征函数是处理概率论问题的有力工具， 其作用在于： ➢ 可将卷积运算化成乘法运算； ➢ 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； ➢ 可将求随机变量序列的极限分布化成一般 的函数极限问题； ➢
第3页第四章大数定律与中心极限定理4.2.1特征函数的定义定义4.2.1设X是一随机变量，称注意 i=V-1(t) = E(eitx)是虚数单位(必定存在)为X的特征函数eitx = cos(tx) +isin(tx)[eitx-]4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第3页 4.2.1 特征函数的定义 定义4.2.1 设 X 是一随机变量，称 (t) = E( e itX ) 注意： i = −1 是虚数单位. 𝑒 𝑖𝑡𝑥 = cos( 𝑡𝑥) + 𝑖 sin( 𝑡𝑥) |𝑒 𝑖𝑡𝑥|=1 为 X 的特征函数 (必定存在)
第4页第四章大数定律与中心极限定理注意点(1)eixkpk(1）当X为离散随机变量时，(t)=)k=(2）当X为连续随机变量时(t)=「ep(x)dx这是p(x)的傅里叶变换4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第4页 注 意 点(1) (1) 当X为离散随机变量时， (2) 当X为连续随机变量时， 1 ( ) k itx k k t e p = = ( ) ( )d itx t e p x x + − = 这是 p(x) 的傅里叶变换
第5页第四章大数定律与中心极限定理注意点(2)特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：欧拉公式：1eitx =cos(tx)+isin(tx)复数的共轭：a+bi=a-bi2复数的模a+bil=Va?+b2(3)4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第5页 特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： 注 意 点(2) (1) 欧拉公式： cos( ) sin( ) itx e tx i tx = + (2) 复数的共轭： a bi a bi + = − (3) 复数的模： 2 2 a bi a b + = +