警如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具：汽车、火车和飞机而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游者选择排列与组合的定义及其计算公式如下（1）排列从n个不同元素中任取T（r≤n）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数记为P按乘法原理，取出的第一个元素有n种取法，取出的第二个元素有n一1种取法.，取出的第，个元素有n-r+1种取法，所以有n!(1.2,2)p=nx(n-1)xx(n-r+1)=(n-r)!若r=n，则称为全排列，记为P显然，全排列P=n！（2）重复排列从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有几个，注意：这里的允许大于n.（3）组合从n个不同元素中任取（r≤n）个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序），称此为一个组合，此种组合的总数记为或C.按乘法原理此种组合的总数为n!Pa_n(n-i)-(n-r+i)_(1.2.3)!!(n-n)r!在此规定0！=1与=1.组合具有性质：（4）重复组合从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取次所得的组合称为重复组合，此种重复组合总数为注意：这里的r也允许大于n重复组合数的得出可如下考虑：将此几个元素画成n个盒子（用n+1根火柴棒示意，见图1.2.1），如果第个元素取到过一次，则在此盒子中用“0”作一记号.图1.2.1所示意味着：第一个元素取到Joool过2次，第2个元素取到过0次，第3个元素[001|.取到过1次，，第n个元素取到过3次因为图1.2.1共取次，所以共有个“0”，n+1个“1如此.14
所有的个“0”和n+1个“1"中除了两端的那两个“1”不可以动外，共有n+r-1个“0”和“1”可随意放置，不同的放置表示不同的取法，因此重复组合数就等于在此n+r-1个位置上任选r个放“0”，或此n+r-1个位置上任选n-1个放“1”，是相等的，n-1上述四种排列组合及其总数计算公式，在确定概率的古典方法中经常使用，但在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复1.2.3确定概率的频率方法确定概率的频率方法是在大量重复试验中用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是：（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行（2）在n次重复试验中，记n（A）为事件A出现的次数，又称n（A）为事件A的频数，称J.(A)=n(A)(1.2.4)n为事件A出现的频率（3）人们的长期实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率f（A）会稳定在某一常数附近，我们称这个常数为频率的稳定值，这个频率的稳定值就是我们所求的概率注意，确定概率的频率方法虽然是很合理的，但此方法的缺点也是很明显的：在现实世界里，人们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的，频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，并且在试验重复次数几较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这一点是频率方法最有价值的地方，在统计学中就是如此做的，且称频率为概率的估计值，臂如，在足球比赛中，人们很关心罚点球命中的可能性大小有人曾对1930年至1988年世界各地的53274场重大足球比赛作了统计：在判罚的15382个点球中有11172个命中：由此可得罚点球命中率的估计值为11172/15382=0.726.容易验证：用频率方法确定的概率满足公理化定义，它的非负性与正则性是显然的，而可加性只需注意到：当A与B互不相容时，计算AUB的频数可以分别计算的A的频数和B的频数，然后再相加，这意味着n（AUB）=n（A）+n（B），从而有.(AUB)=n(AUB)_n(A) +n(B)nn:15
n(B) =J.(A) +f.(B).n(A)nn说明频率稳定性的例子例1.2.1（1）抛硬币试验历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见表1.2.1，从表中的数据可以看出：出现正面的频率逐渐稳定在0.5.用频率的方法可以说：出现正面的概率为0.5.历史上抛硬币试验的若干结果表1.2.1颖率出现正面次数抛硬币次数实验者10610.51812048德摩根（De Morgan）20480.506.94040蒲丰（Buffon）49790.497910000费勤（Feller)60190.501612000皮尔逊（Pearson）120120.500524.000皮尔逊（2）英语字母的频率人们在生活实践中已经认识到：英语中某些字母出现的频率要高于另外一些字母，但26个英文字母各自出现的频率到底是多少？有人对各类典型的英语书刊中字母出现的频率进行统计，发现各个字母的使用频率相当稳定（见表1.2.2）这项研究对计算机键盘的设计（在方便的地方安排使用频率最高的字母键）、信息的编码（用较短的码编排使用频率最高的字母键）等方面都是十分有用的，表1.2.2英文字母的使用频率字母字母使用频率使用频率字母使用频率PL0.03940.0186E0.1268DB0.03890.0156T0.0978VU0.01020.0280A0.0788Kc0.00600.026800.0776XF0.02560.001610.0707JM0.02440.00100.0706NWQ0.02140.0009S0.0634ZY0.00060.0202R0.0594G0.0187H0.0573（3）女婴出生频率.16
研究女婴出生频率，对人口统计是很重要的，历史上较早研究这个问题的有拉普拉斯（Laplace，1794一1827），他对伦敦彼得堡柏林和全法国的大量人口资料进行研究，发现女婴出生频率总是在21/43左右波动统计学家克拉梅（Cramer，1893一1985）用瑞典1935年的官方统计资料（见表1.2.3），发现女婴出生频率总是在0.482左右波动表1.2.3瑞典1935年各月出生女婴的频率345612月份7609婴儿数69577883788478927280340737113.7753665女婴数353738660.482频率0.4860.4900.4900.4710.478全年789101112月份88273758573937203690365527132婴儿数425913.49133913.1603371女婴数362135960.4730.4825频率0.4770.4860.4850.4910.4821.2.4确定概率的古典方法确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形.它简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率古典方法的基本思想如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，臂如为几个（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）例如，抛一枚均勾硬币，“出现正面”与“出现反面”的可能性相等：抛一枚均匀般子，出现各点（1~6）的可能性相等：从一副扑克牌中任取一张，每张牌被取到的可能性相等（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P(A）=事件A所含样本点的个数_(1.2.5)Q中所有样本点的个数n容易验证，由上式确定的概率满足公理化定义，它的非负性与正则性是显然的.而满足可加性的理由与频率方法类似：当A与B互不相容时，计算AUB的样本点个数可以分别计算A的样本点个数和B的样本点个数，然后再相加，从而有可加性P（AUB）=P（A）+P（B）古典方法是概率论发展初期确定概率的常用方法，故所得的概率又称为古典概率，在古典方法中，求事件A的概率归结为计算A中含有的样本点的个数和Q中含有的样本点的总数.所以在计算中经常用到排列组合工具例1.2.22掷两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率·17
解此例的样本空间为2=（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）所以Q中含有样本点的个数为4，事件“出现一个正面一个反面”含有的样本点的个数为2个，因此所求概率为1/2注意，如果将此样本空间记成2=（二正），（二反），（一正一反），则此三个样本点不是等可能的在计算古典概率时，一般不用把样本空间详细写出，但一定要保证样本点为等可能，以下是一些较为有用的模型，请读者熟练掌握和灵活运用例1.2.3（抽样模型）一批产品共有N件，其中M件是不合格品，N-M件是合格品，从中随机取出n件试求事件A=“取出的n件产品中有m件不合格品”的概率解先计算样本空间中样本点的总数：从N件产品中任取n件，因为不个样本点讲次序，所以样本点的总数为又因为是随机抽取的，所以这是等可能的，下面我们先计算事件A。，A，的概率，然后再计算A，的概率因为事件A。=“取出的n件产品中有O件不合格品”=“取出的n件产品全是合格品”，这意味着取出的n件产品全是从N-M件合格品中抽取，所以有N-M种取法，故A。的概率为N-MP(A.)N事件A=“取出的n个产品中有1件不合格品”，要使取出的n件产品中只有1件不合格品，其他n-1件是合格品，那么必须分两步进行：第一步：从M件不合格品中随机取出1件，共有种取法N-M种取法第二步：从N-M件合格品中随机取出n-1件，共有n-1N-M所以根据乘法原理，A，中共有个样本点.故A，的概率为M-1P(A,)18