第四节曲面乌曲线
第四节 曲面与曲线
曲面方程的概念一引例：求到两定点A(1,2,3）和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程解:设轨迹上的动点为 M(x,y,z),则|AM|=BM|,即V(x-1)2 +(y-2) +(z-3)2= /(x-2)2 +(y+1)2 +(z - 4)22x-6y+2z-7=0化简得说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面显然在此平面上的点的坐标都满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程
一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z −3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + (y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点为 M(x, y,z),则 AM = BM , 轨迹方程
定义1.如果曲面S与方程F(xJz）=0有下述关系（1）曲面S上的任意点的坐标都满足此方程(2）不在曲面S上的点的坐标不满足此方程则F（x,z）=O叫做曲面S的方程曲面S叫做方程Fxyz）=0的图形F(x,y,z)= 0S0Vx
定义1. F(x, y,z) = 0 S y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程
例1.求动点到定点Mo(xo,Yo,zo）距离为R的轨迹方程解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意MM=R即/(x -xo)? +(y- yo)2 +(z-zo)? = R故所求方程为(x -xo)2 +(y- yo)? +(z- zo)2 = R27特别当M.在原点时，球面方程为Mox? + y? + 2? = R?Mz = ±/R2-x2 - y2表示上(下)球面0yx
故所求方程为 例1. 求动点到定点 M(x, y,z), ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 M0M = R 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 2 2 2 z = R − x − y 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R
例2求与原点0及M.（2.3，4）的距离之比为1：2的点的全体所组成的曲面方程解：设M(xy,z)是曲面上任一点，I MO根据题意有2MM. Ix?+y+z?2V(x-2) +(y-3) +(z- 4)2116+(y+1) +/ z+所求方程为x+339
解: 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 = + + + + 所求方程为 x + y z 例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1 : 2的 点的全体所组成的曲面方程.