第二节平面及其方程平面的点法式方程一R平面的一般方程二、三、两平面的夹角HIGH EDUCATION PRESS机动返回结束自录上页下页
第二节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程
平面的点法式方程一、1-设一平面通过已知点M。（xo,yo,zo）且垂直于非零向量n=(A,B,C),求该平面II的方程n任取点M(x,y,2)eⅡI,则有MI1OKMoMoMIn0L故XMoM.n=0MoM =(x- xo,-yo,z- zo)A(x-Xo)+ B(y- yo)+C(z - zo)=0称①式为平面Ⅱ的点法式方程称n为平面Ⅱ的法向量HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录
z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求过三点M,(2,-1,4), M2(-1,3,-2),M3(0,2,3)的平面Ⅱ的方程解：取该平面ⅡI的法向量为n= MM2 ×M,MMM3iⅡI-64一-23-1=(14, 9, -1)又M,EII,利用点法式得平面 II 的方程14(x - 2) +9(y +1) -(z - 4) = 0即14x+9y-z-15=0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录
i j k = 例1.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
此平面的三点式方程也可写成说明：x-2 y+l z-44=0-63一般情况：过三点Mk(xk,k,zk) (k =1,2,3)的平面方程为x-XiZ-Z1y-yi=0X2 -XiZ2 - Z1Y2 -y1X3 -XiY3 -iZ3 - Z1HIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束目录
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时,平面方程为=1 (a,b,c±0)此式称为平面的截距式方程分析：利用三点式x-aLb一(x -a)bc- y(-a)c+ zab =0按第一行展开得即bcx + acy +abz = abcHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c 0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束