《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章课件_6.3全微分

全微分

全 微 分

一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得f(x+△x,y)- f(x,y)fx(x,y)Ar~f,(x,y)Ay~f(x,y+Ay)- f(x,y)二元函数二元函数对x和对√的偏增量对x和对V的偏微分

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏增量 二元函数 对 x和对 y的偏微分

全增量的概念如果函数z=f(x,J)在点(x,)的某邻域内有定义，并设P(x+△x,+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+Ay)-f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量△x,Ay的全增量，记为△z，即 △z=f(x+Ax, y+Ay)-f(x,y)

如果函数 z = f (x, y)在点 (x, y)的某邻域内有定义，并设 P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之 差 f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x,y的全增量，记为z， 即 z= f (x + x, y + y) − f (x, y) 全增量的概念

全微分的定义如果函数z= f(x,)在点(x,)的全增量△z= f(x+△x,y+△Ay)-f(x,y)可以表示为△z=A△x+By+o(p)，其中A,B不依赖于△x,Ay而仅与x,y有关，p= /(△x)2 +(Ay),则称函数z=f(x,)在点(x,)可微分,A△x+BAy称为函数z= f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=A△r+BAy.如果函数z=f(x,J)在点(x,y)可微分，则函数在该点连续

全微分的定义 如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续

事实上△z = AAx + BAy + o(p),lim △z = 0,p-→0lim f(x + Ax,y+ Ay)Ar0Ay-→0= lim[ f(x, y)+ △z)p-0= f(x,y)故函数z=f(x,y)在点(x,)处连续二、可微的条件

事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续. 二、可微的条件