偏导数我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义
偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了 该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多 元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多 元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要 求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对 其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依 然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概 念，对此给出如下定义
一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z= f(x,y)在点(xo,Jo)的某一邻域内有定义，当y固定在y.而x在x.处有增量△x时，相应地函数有增量f(xo + △x,yo) - f(xo,yo),f(xo + △x, yo)- f(xo,yo)如果lim存在，则称AxAr-0此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对 x的偏导数，记为Ozaf，zxx=xo或f(xo,yo).Ox x=xoax x=xoy=yoy=yo=Vo
定义 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记为 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 一、偏导数的定义及其计算法
同理可定义函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对y的偏导数，为f(xo,yo + Ay)- f(xo, yo)limAyAy-→>0Oz.af记为， Zy x=x或f,(Xo,Jo)ayayx=Xox=xoy=yoy=yoy=yo如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x，J)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,)对自变量x的偏导函数oz, af, z,或f,(x,y).记作axax
同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数 z = f (x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、 y的函数，它就称为函数z = f (x, y)对 自变量x的偏导函数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x
f(x+h,y)- f(x,y)f.(x, y) = limhh-→>0同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏Oz., %, z,或f,(x,y).导函数，记作ayOyf(x,y+h)- f(x,y)f,(x, J) = limhh->0
h f x h y f x y f x y h x ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = → 同理可以定义函数 z = f (x, y)对自变量 y的偏 导函数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y . h f x y h f x y f x y h y ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 + − = →
偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法af求时把y视为常数而对x求导axaf求时把x视为常数而对 y求导ay这仍然是一元函数求导问题
偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 x f 求 时把 x视为常数而对 y 求导 y f 这仍然是一元函数求导问题