现，我们没有必要将连续样本空间的所有子集都看成是事件，只需将我们感兴趣的子集（又称可测集）看成是事件即可现在的问题是：我们应该对哪些子集感兴趣，或换句话说，中应该有哪些元素？首先应该包括Q和の，其次应该保证事件经过前面所定义的各种运算（并、交、差、对立）后仍然是事件，即要对集合的运算有封闭性，经过研究人们发现交的运算可通过并与对立来实现（德摩根公式）·差的运算可通过对立与交来实现（A-B=AB）这样一来，并与对立是最基本运算，于是可给出事件域的定义如下定义1.1.1设2为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果字满足：(1)Qeg,（2）若AE则对立事件AEF（3）若A,EF，n=1,2,，则可列并UAE实则称7为一个事件域，又称为域或代数在概率论中，又称（2为可测空间，这里“可测”是指中都是有概率可言的事件D常见的事件域例1.1.101）若样本空间只含两个样本点0=100记A=10,1A=（02，则其事件域为.=10.A，A.2!（2）若样本空间含有n个样本点0=10，02，，则其事件域7是由空个三元素集.和Q组成的集合类，个双元素集集几个单元素集=2个事件这时中共有+.(3）若样本空间含有可列个样本点Q=1,.02,，0，，则其事件域7是由空集の、可列个单元素集、可列个双元素集、、可列个n个元素集、和2组成的集合类，这时是由可列个的可列个（仍为可列个）元素（事件）组成（4）若样本空间含有全体实数Q=（-）=R.这时事件域7中的元素无法一一列出，而是由一个基本集合类逐步扩展形成，具体操作如下：·取基本集合类“全体半直线组成的类”，即=1(-0.x)1-0<x<01..9
·利用事件域的要求，首先把有限的左闭右开区间扩展进来[a,b）=（-,b）-（-8,a)，其中a,b为任意实数·再把闭区间、单点集、左开右闭区间、开区间扩展进来[a,b]=n[a,b+],tbl=a,b]-[a,b)(a,bl=［a,b]-lat,(a,b)=[a,b)-at.。最后用（有限个或可列个）并运算和交运算把实数集中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展进来，经过上述儿步扩展所得之集的全体就是人们希望得到的事件域因为它满足事件域的定义，这样的事件域又称为博雷尔（Borel）事件域，域中的每个元素（集合）又称为博雷尔集，或称为可测集，这种可测集都是有概率可言的事件例1.1.11（分割）把样本空间Q划分为n个互不相容的事件D，Dz，D，的行动称为2的一个分割记为=DD，，D显然，分割有性质：诸D互不相容，且UD=Q分割常在概率与统计研究中使用，因为它可以化简被研究的问题（具体可见1.4.3节的全概率公式）警如，电视机的彩色浓度×是重要的质量指标，它的目标值是m.彩色浓度过大或过小都是不适当的，由于随机性要在生产中把彩色浓度控制在点m上也是不可能的.因为没有必要对彩色浓度的每个可能出现的值进行考察，所以常把彩色浓度按顾客可接受的情况分为如下儿档：其中为某个常数D,=1la-ml≤a（一等品）D,=a<lx-ml≤2a（二等品）D,=【2a<lx-ml≤3a+（三等品）D=1x-m/>3a（不合格品）这样就把彩色浓度的样本空间Q=（-，）划分成四个互不相容的事件，产生一个分割=DD，DD1.这时人们的研究只要限制在由分割=DD2D，D，中一切可能的并及空集①组成的事件域上，因此该事件域称为由分割产生的事件域，记为α（）.该事件域仅含2=16个不同的事件，研究就简化了一般场合，若分割=DD，D由n个事件组成，则其产生的事件域（）共含有2个不同的事件·分割行动常在一些问题的研究中被采用，它可使事件域得以简化，.10:
习题1.11.写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币：（2）抛三颗般子：（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个：（5）口袋中有黑，白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个，2.先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z），则再掷一题般子，试验停止：若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间Q是什么？3.设A，B，C为三事件，试表示下列事件：（1）4,B,C都发生或都不发生：（2）A,B.C中不多于-个发生：3）A.B.C中不多于两个发生：（4）A,B，C中至少有两个发生4.指出下列事件等式成立的条件：(I)AUB=A;(2)AB=A.5.设X为随机变量，其样本空间为2=10≤X≤21，记事件A=10.5<X≤11，B=0.25≤X<1.51，写出下列各事件：()AB:(2)AUB:(3)AB:（4AUB6.检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A="X=1",B="X>2".C="X=0",D="X=4".7.试问下列命题是否成立？(1)A-(B-C)=(A-B)UC:（2）若AB=O且CCA.则BC=O；(3)（(AUB)-B=A;(4)(A-B)UB=A.8.若事件ABC=の，是否一定有AB=？9.请叙述下列事件的对立事件：（1）A=“挪两枚硬币皆为正面”：（2）B=“射击三次，皆命中目标”：（3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品”10.证明下列事件的运算公式：(I)A=ABUAB:(2)AUB=AUAB..11
11、设为一事件域，若4n=1,2，，试证：()eg（2）有限并UAe.Tn≥l：F(3）有限交A,e.7n≥1-（4）可列交NAES(5）差运算4-A,E实81.2概率的定义及其确定方法在这一节中，我们要给出概率的定义及其确定方法，这是概率论中最基本的一个问题，简单而直观的说法就是：概率是随机事件发生的可能性大小，对此我们先看下面一些经验事实：1.随机事件的发生是带有偶然性的，但随机事件发生的可能性是有大小之分的，例如口袋中有10个相同大小的球，其中9个黑球，1个红球，从口袋中任取1球，人们的共识是：取出黑球的可能性比取出红球的可能性大2.随机事件发生的可能性是可以设法度量的，就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样，例如抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性是相同的，各为1/2.足球裁判就用抛硬币的方法让双方队长选择场地，以示机会均等3.在日常生活中，人们对一些随机事件发生的可能性大小往往是用百分比（0到1之间的一个数）进行度量的，例如购买彩券后可能中奖，可能不中奖，但中奖的可能性大小可以用中奖率来度量：抽取一件产品可能为合格品，也可能为不合格品，但产品质量的好坏可以用不合格品率来度量：新生婴儿可能为男孩，也可能为女孩，但生男孩的可能性可以用男婴出生率来度量，这些中奖率不合格品率、出生率等都是概率的原型在概率论发展的历史上，曾有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义.这些定义各适合一类随机现象.那么如何给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义呢？1900年数学家希尔伯特（Hilberl，1862一1943）提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题，即以最少的儿条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov，1903一1987）首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足该定义中的三条公理，才能说它是概率，这一公理化体系迅速获得举世公认，是概率论发展史上的一个里程碑，有了这个公理化定义后，概率论得到了迅?12:
速发展1.2.1概率的公理化定义定义1.2.1设2为一个样本空间，7为2的某些子集组成的一个事件域.如果对任一事件AE买定义在7上的一个实值函数P（A）满足：（1）非负性公理若AE则P（A）≥O（2）正则性公理P（2）=1（3）可列可加性公理若AA，，A互不相容，则P(UA.) =-EP(A),(1.2.1)则称P（A）为事件A的概率，称三元素（Q，P）为概率空间概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，若在事件域上给出一个函数，当这个函数能满足上述三条公理，就被称为概率当这个函数不能满足上述三条公理中任一条，就被认为不是概率公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，历史上在公理化定义出现之前概率的频率定义、古典定义、几何定义和主观定义都在一定的场合下，有着各自确定概率的方法，所以在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的，下面先介绍在确定概率的古典方法中大量使用的排列与组合公式，然后分别讲述确定概率的方法1.2.2排列与组合公式排列与组合都是计算从几个元素中任取厂个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式，面所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的：而两个人排队是讲次序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事，排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理：（1）乘法原理如果某件事需经个步骤才能完成，做第一步有m，种方法，做第二步有m，种方法，.，做第k步有m，种方法，那么完成这件事共有m,xm,x.xm，种方法警如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6条旅游线路（2）加法原理如果某件事可由类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m，种完成方法，在第二类途径中有m，种完成方法，，在第类途径中有m，种完成方法，那么完成这件事共有m，+m++m，种方法.13