上述讨论表明：在同一个随机现象中，不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行例1.1.5有些随机现象的结果虽然不是数，但仍可根据需要设计出有意义的随机变量如检验一件产品的可能结果有两个：合格品与不合格品.若我们把注意点放在不合格品上，则设置X=“检查一件产品所得的不合格品数”X是仅取0与1的随机变量，且“X=0"表示事件“出现合格品”；“X=1"表示事件“出现不合格品”若检查10件产品，其中不合格品数Y是一个随机变量，它仅可能取0，1，2..10等11个值，且·事件“不合格品数不多于1件”可用“Y≤I”表示。“Y=0"表示事件”全是合格品”·“Y=10"表示事件“全是不合格品”。“Y<0”是不可能事件の.。“Y≤10”是必然事件Q.由此可见，随机变量是人们根据研究和需要设置出来的，若把它用等号或不等号与某些实数联结起来就可以表示很多事件，这种表示方法形式简洁、含义明确、使用方便，今后遇到的大量事件都将用随机变量表示，这里关键在于随机变量的设置要事先说明1.1.5事件间的关系下面的讨论总是假设在同一个样本空间（即同一个随机现象）中进行，事件间的关系与集合间关系一样主要有以下儿种：一、包含关系如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（见图1.1.2）或称B包含A，记为ACB，或BDA.用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生警如掷一颗般子，事件A=“出现4点的发生必然导致事件B=“出现偶数点"的发生，故ACB又如电视机的寿命T超过10000h（记为事件A=T>10000）和T超过20000h（记为事件B=|T>200001），则A5B，见图1.1.32AB1T01000020000图1.1.3T>100001T>20000ACB图1.1:2.4
对任一事件A必有OCACQ二、相等关系如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点必属于A.即ACB且BCA.则称事件A与B相等，记为A=B从集合论观点看，两个事件相等就意味着这两事件是同一个集合，下例说明：有时不同语言描述的事件也可能是同一件事例1.1.6掷两颗般子，以A记事件“两颗般子的点数之和为奇数”，以B记事件两颗般子的点数为一奇一偶”很容易证明：A发生必然导致B发生，而且B发生也必然导致A发生，所以A=B例1.1.7口袋中有a个黑球，b个白球（a与b都大于零），从中不返回地一个一个摸球，直到摸完为止，以A记事件“最后摸出的儿个球全是黑球”，以B记事件“最后摸出的一个球是黑球”对于此题粗看好像是A≠B，但只要设想将球全部摸完为止则明显有：A发生必然会导致B发生，即ACB：反之注意到事件A中所述的几个”最少是1个，也可以是2个，，最多为a个，则B发生时A也必然会发生（对于这点请读者仔细体会），即BCA，由此得A=B三、互不相容Q如果A与B没有相同的样本点（见图1.1.4），则称A与B互不相容.用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生如在电视机寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5万小时”是两个互不相容的事图L.L4A与B互不相容件，因为它们不可能同时发生1.1.6事件间的运算事件的运算与集合的运算相当，有并、交、差和余等四种运算一、事件A与B的并记为AUB.其含义为“由事件A与B中所有的样本点（相同的只计人一次）组成的新事件”（见图1.1.5）.或用概率论的语言说“事件A与B中至少有一个发生”如在掷一颗般子的试验中，记事件A=“出现奇数点”=1，3，5，记事件B=“出现的点数不超过3”=11.2.3.则A与B的并为AUB=,2.3.51二、事件A与B的交记为AnB，或简记为AB.其含义为“由事件A与B中公共的样本点组成的新事件”（见图1.1.6）.或用概率论的语言说“事件A与B同时发生”.5
Qo图1.1.6A与B的交图1.1.5A与B的并如在挪一颗般子的试验中，记事件A=“出现奇数点”=13，5记事件B=“出现的点数不超过3"=|1,2,31，则A与B的交为AB=1.3若事件A与B为互不相容，则其交必为不可能事件，即AB=の，反之亦然这表明：AB=の就意味着A与B是互不相容事件事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件，警如有事件AA.则UA称为有限并，UA称为可列并，nA,称为有限交，nA,称为可列交，三、事件A对B的差记为A-B.其含义为“由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件”（见图1.1.7）.或用概率论的语言说“事件A发生而B不发生”2e(b)A-B(ADB)(a)A-B图11.7如在掷一颗般子的试验中，记事件A=“出现奇数点”=11,3，51，记事件B=“出现的点数不超过3"=11.23则A对B的差为A-B=151若设X为随机变量，则有ix=at=ix≤al-iX<al.la<X≤bi=X≤l-lx≤a四、对立事件事件A的对立事件，记为A，即由在Q中而不在A中的样本点组成的新事件"（见图1.1.8），或用概率论的语言说“A不发生”，即A=Q-4.注意，对立事件是相互的，即A的对立事件是A,而A的对立事件是A,即A=A.必然事件Q与不6
可能事件①互为对立事件，即2=①.①=2如在掷一颗殷子的试验中，事件A=“出现奇数点=11.3，5的对立事件是A=12,4.61，事件B=A“出现的点数不超过3"=1，2,3|的对立事件是B=14,5.61.A与B互为对立事件的充要条件是：AnB=①，且AUB=2图1.1.84的对立事件入此性质也可作为对立事件的另一种定义，即如果事件A与B满足：AnB=①且AUB=Q.则称A与B互为对立事件，记为A=B，B=A.需要注意的是：1.对立事件一定是互不相容的事件，即AnA=の.但互不相容的事件不一定是对立事件2.A-B可以记为AB例1.1.8从数字1,2.，9中可重复地任取n次（n≥2），以A表示事件“所取的n个数字的乘积能被10整除”.因为乘积能被10整除必须既取到数字5，又要取到偶数，所以A的对立事件A为“所取的n个数字中或者没有5，或者没有偶数”如果记B=“所取的n个数字中没有5”，C=“所取的n个数字中没有偶数”则A=BUC设A，B，C是某个随机现象的三个事件，则例1.1.9（1）事件“A与B发生，C不发生"可表示为：ABC=AB-C（2）事件“A，B，C中至少有一个发生"可表示为：AUBUC（3）事件“A，B，C中至少有两个发生"可表示为：ABUACUBC（4）事件A，B，C中恰好有两个发生”可表示为：ABCUABCUABC.（5）事件“A.B.C同时发生”可表示为：ABC.（6）事件“A.BC都不发生"可表示为：ABC.（7）事件“A,B,C不全发生"可表示为：AUBUC.五、事件的运算性质1.交换律(1.1.1)AUB=BUA,AB=BA.2.结合律(1.1.2)(AUB)UC=AUBUC),.7
(1.1.3)(AB)C=A(BC).3.分配律(1.1.4)(AUB)NC=ACUBC.(1.1.5)(ANB)UC=(AUC)N(BUC)4.对偶律（德摩根公式）(1. 1.6)AUB=ANB事件并的对立等于对立的交：(1.1.7)ANB=AUB.事件交的对立等于对立的并：事件运算的对偶律是很有用的公式，这些性质是不难证明的，在此我们用集合论的语言证明其中的（1.1.6）式（1.1.6）式的证明设のEAUB，即AUB这表明既不属于A，也不属于B，这意味着年A和B同时成立，所以EA与のEB同时成立，于是有eAnB，这说明AUBCANB反之，设weAnB，即同时有weA和eB，从而同时有wA和wB，这意味着不属于A与B中的任一个，即AUB，也就是有EAUB，这说明AUBAOB.综合上述两方面，可得AUB-ANB.（1.1.6）式得证德摩根公式可推广到多个事件及可列个事件场合：UA,=NA,(1.1.8)UA=NA,=-(1.1.9)nA=UA.NA=UA.i1.1.7事件域在此我们要给出的“事件域”概念，目的是为下一节定义事件的概率作准备所谓的“事件域”从直观上讲就是一个样本空间中某些子集及其运算（并、交，差、对立）结果而组成的集合类，以后记事件域为实当样本空间是实数轴上的一个区间时，可以人为地构造出无法测量其长度的子集，这样的子集常被称为不可测集，如果将这些不可测集也看成是事件，那么这些事件将无概率可言，这是我们不希望出现的现象，为了避免这种现象出8