《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.2偏导数

例求z=x2+3y+y2在点(1.2)处的偏导数 解 = Ox 2x+3y; =3x+2y: dy ax2×1+3x2=8, Q 0 =3×1+2×2=7

解    x z 2x  3 y ;    y z 3x  2 y .       2 1 y x x z 21  3 2  8 ,      2 1 y x y z 31  2 2  7 . 2 2 例1 3 (1.2) 求z x xy y    在点 处的偏导数

例2设z=x'(x>0,x≠1)， 求证 欧， 1 Oz y ax Inx ay -2五 证 Oz Ox =x =xmnx, dy xOz ,10z yax =x少+x’=2z. 例3.求r=Vx2+y2+z2 的偏导数. Or 2x 解： x or ∂r oy Oz

证 1 , y z yx x     ln , y z x x y    y z x x z y x      ln 1 2 . y y    x x z 例3. 求 的偏导数 . 解: r x    2 2 2 2 2 x x y z   x r  r z z r    2 ( 0, 1) 1 2 . ln y z x x x x z z z y x x y          例 设 ， 求证

例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数)，求证： ap av aT ay at ap RT RT 证 p= → V av P2) V= RT OV R T=PV at V → → p OT P R ap R ap av aT RTRV RT =-1. av aT ap PV

证   V RT p ; 2 V RT V p       p RT V ; p R T V      R pV T ; R V p T    2 p V T RT R V V T p V p R             1. RT pV     4 ( ) 1. pV RT p V T R V T p            例 已知理想气体的状态方程 为常数 ，求证：

练习设z=arcsin ,求 Oz Ox x2+y2 x'ay 解 0 Ox -xy vr2tyy (y2yD y 1V(x2+y2)3 1y x2+y2

解    x z              x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | ( x y ) y y x y     . | | 2 2 x y y   ( | |) 2 y  y 2 2 arcsin . x z z z x y x y       练习 设 ，求

Ox &y (-y) 1y川V(x2+y2)3 2+2,y>0 Oz 不存在. x2+y2y<0 y=0

   y z 2 2 2 2 2 1 1 y x x x y x y             2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y                  , 0 , 0 2 2 2 2 y x y x y x y x 0 0     y y x z 不存在．