用极限定义证明sm注适当放大法放大过程不唯一，但每次放大均为无穷小量。n2+1证明：nm=。例设 Xn = 3m2-2n+8'n-oo12
12 例 设 �� = � �+� �� �−��+�，证明：lim �→∞ �� = � �。 用极限定义证明 注 适当放大法放大过程不唯一 ，但每次放大均为无穷小量
用极限定义证明证明: lim (Vn+1-Vn)= 0。例13
13 例 证明：lim �→∞ � + � − � = �。 用极限定义证明
数列极限T对数列(x，若存在常数A,对V>O,NEN,使得当n>N时，有Ixn-Al<ε,则称数列(x}的极限为A，或数列(x收敛于A。定义若不存在这样的常数A，则称数列(xn}无极限、不收敛或发散。VA,3&,VNEN,n>N,使得xn-AI≥&。例xn=（-1)"，n=1,2,…是发散的数列。VA,3ε=1,VNEN,En=N+1或N+2,Ixn-A≥&。[xN+1一A|≥1与[xN+2-AI≥1至少有一个成立。14
14 对数列 �� ，若存在常数 �， 数列极限 对 ∀ � > �，∃ � ∈ �，使得当 � > � 时，有 �� − � < �， 定义 若不存在这样的常数 �，则称数列 �� 无极限、不收敛或发散。 则称数列 �� 的极限为 �，或数列 �� 收敛于 �。 例 �� = −� � , � = �, �, ⋯ 是发散的数列。 ∀ �，∃ � = �，∀ � ∈ �，∃ � = � + � 或 � + �， �� − � ≥ �。 ��+� − � ≥ � 与 ��+� − � ≥ � 至少有一个成立。 ∀ �，∃ �，∀ � ∈ �，∃ � > �，使得 �� − � ≥ �
用极限定义证明性质lim xn = 0 lim [xnl = 0。n-00n-8lim xn = A一 lim (xn - A) = 0。n-8n-o15
15 性质 lim �→∞ �� = � ⇔ lim �→∞ �� = �。 用极限定义证明 lim �→∞ �� = � ⟺ lim �→∞ �� − � = �
无穷小0定义若limxn=0，则称数列(xn)为无穷小量，简称(xn)为无穷小。n注无穷小（无穷大）并非一个数，而是一个极限为0的过程。例数列(}，()，{Vn+1-Vn)均为无穷小。由 lim xn = A lim (xn 一A) = 0知,n-00n-00对极限的研究，均可转化为对无穷小量的分析。16
16 定义 若lim �→∞ �� = �，则称数列 �� 为无穷小量，简称 �� 为无穷小。 无穷小 注 无穷小（无穷大）并非一个数，而是一个极限为 � 的过程。 例 数列 � � ， � � � ， � + � − � 均为无穷小。 由 lim �→∞ �� = � ⟺ lim �→∞ �� − � = � 知， 对极限的研究，均可转化为对无穷小量的分析