数列极限aml文科高数：当n充分大时，[xn一Al可任意的小，称(x)的极限为A。定义对数列(xn}，若存在常数A,>O,日NEN,使得当n>N时，有Ixn-AI<ε,则称数列(x 的极限为 A，或数列(xn}收敛于 A,记为lim xn = A, 或 xn → A(n → )。n-时献A+eA-EQ
7 定义 对数列 �� ，若存在常数 �， 数列极限 ∀ � > �，∃ � ∈ �，使得当 � > � 时，有 �� − � < �， 记为lim �→∞ �� = �，或 �� → � � → ∞ 。 则称数列 �� 的极限为 �，或数列 �� 收敛于 �， 文科高数：当 � 充分大时， �� − � 可任意的小，称 �� 的极限为 �
数列极限sm注定义中“V>O,日NE”一般来说N依赖于ε，ε越小，则N越大，对不同的ε，需找到相应的N，使得当n>N时，有Ixn一Al<E。（1） xn=号；（2) xn=二"；（3) xn= "极限均为 0。2nn分析：需满足Vε>O，日NEN，使得当n>N时，有Ixn-Al<ε。此处A即为0，而N需要根据ε来寻找，可取N=>0,=，使得当>时，有Ixn-01。注定义仅需说明N的存在性，故仅需找到一个对应ε的N即可。a
8 注 定义中“∀ � > �，∃ � ∈ �” ， 数列极限 一般来说 � 依赖于 �，� 越小，则 � 越大， 对不同的 �，需找到相应的 �，使得当 � > � 时，有 �� − � < �。 例 （1）�� = � �；（2）�� = −� � � ；（3）�� = �+ −� � �� 极限均为 �。 分析：需满足 ∀ � > �，∃ � ∈ �，使得当 � > � 时，有 �� − � < �。 ∀ � > �，∃ � = � � ，使得当 � > � 时，有 �� − � < �。 此处 � 即为 �，而 � 需要根据 � 来寻找，可取 � = � � ， 注 定义仅需说明 � 的存在性，故仅需找到一个对应 � 的 � 即可
数列极限注定义中“Ixn一Al<”，此为A的一个ε邻域，当n充分大时，所有的通项xn都落在这个邻域内。若A是数列(xn}的极限，则以A 为心的任一邻域U(A,),数列x)有无穷多项落在U(A,）内，而仅有有限项落在邻域外。XXN+IT收嫁“言蛋V一“眼义宝财
9 数列极限 当 � 充分大时，所有的通项 �� 都落在这个邻域内。 若 � 是数列 �� 的极限，则以 � 为心的任一邻域 � �, � ， 数列 �� 有无穷多项落在 � �, � 内，而仅有有限项落在邻域外。 注 定义中“ �� − � < � ” ，此为 � 的一个 � 邻域
用极限定义证明用定义证明数列极限的过程中。往往会使用分析法（等价变形）以及适当放大法。例证明：当 lql<1时，lim qn =0。10
10 例 证明：当 � < � 时，lim �→∞ � � = �。 用极限定义证明 用定义证明数列极限的过程中， 往往会使用分析法（等价变形）以及适当放大法
用极限定义证明1例设xn =证明： lim xn = 0。n!'n-811
11 例 设 �� = � �!，证明：lim �→∞ �� = �。 用极限定义证明