于是有fe+)-f包)_1ff5)d 2ML A= △ 2mc(5-z263 2π 由此可知 f()=lim fe+Ae-f@-ff⑤g △z0 △z 2mc(5-z)2 即n=时，定理成立. 现在假设n=k(k>1)时定理成立，下面推导当n= k+时定理也成立
于是有 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 3 ML z z f d z i f z z f z C − − + − 由此可知 d z f z i f z z f z f z z C − = + − = → 2 0 ' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) lim 即n =1时，定理成立. 时定理也成立. 现在假设 时定理成立,下面推导当 1 ( 1) + = = k n k k n 6
为此将f(2)看作f(2),重复n=的证明方法可证 明当n=k+时定理也成立，故由数学归纳法可证 明定理的结论成立. 定理3.9的说明： (①)定理3.9：若函数f(z)在区域D内解析，则在D内各 阶导数都存在，并且各阶导数仍是解析函数 即：解析函数的导数仍是解析函数 由解析函数的无穷可微性，我们可以得到判断函数 在区域内解析的一个充要条件
明定理的结论成立. 明当 时定理也成立,故由数学归纳法可证 为此将 看作 重复 的证明方法可证 n k 1 n 1 = + ( ) ( ), = ( ) f z f z k 7 定理3.9的说明： , . (1) : ( ) , 阶导数都存在 并且各阶导数仍是解析函数 定理3.9' 若函数f z 在区域D内解析 则在D内各 在区域内解析的一个充要条件。 由解析函数的无穷可微性,我们可以得到判断函数 即:解析函数的导数仍是解析函数
(2)结论：函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)在区域D内解析 的充分必要条件是： (@)u,4,y,y,在D内连续 ()u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程。 (3)高阶导数公式给出了解析函数的高阶导数的积 分表达式
的充分必要条件是： (2)结论:函数f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内解析 ( ) , , , ; ' ' ' ' i ux uy vx vy 在D内连续 (ii)u(x, y),v(x, y)在D内满足柯西-黎曼方程。 分表达式 (3)高阶导数公式给出了解析函数的高阶导数的积 + − = C n n z f i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( )
(4)利用高阶导数公式可以计算复变函数的积分： (5)z在积分曲线C的外部时， e〉也=a=2
d 0( 1,2, ) ( ) ( ) 1 0 = = − + z n z z f z C n ( ) ! 2π d ( ) ( ) 0 ( ) 1 0 f z n i z z z f z n C n = − + 9 (4)利用高阶导数公式可以计算复变函数的积分； (5) , z0 在积分曲线C的外部时
三、典型例题 例1计算下列积分，其中C为正向圆周：=r>1. 四fe 解()函数c0sπz 在C内z=1处不解析， (z-105 但cosπz在C内处处解析， 根据公式了a=名4
三、典型例题 例1 解 − + = C z C z z e z z z C z r d . ( 1) d ; (2) ( 1) cos (1) , : 1. 5 2 2 计算下列积分 其中 为正向圆周 1 , ( 1) cos (1)函数 5 在 内 = 处不解析 − C z z z 但cosz 在C内处处解析, + − = C n n z z z f z i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 根据公式 ( ) 10