等映照。习题、如果A和A是任何两个格，则C/A与C/A微分同构、即存在C映照:C/A→C/A'与g：C/A'→C/A，使fog-idcia,gof-idcla.我们将于下面看到，不同格的环面不一定同构现设C/A与C/A'同构。我们下面讨论其同构的条件根据定义，元：C→C/A使C成为C/A的万有覆盖曲面；元：C→C/A使C成为C/A的万有覆盖曲面，设1：C/A→C/A'为双全纯映照，利用同伦提升，则存在全纯映照F：C→C，使得F和元，图示如下：C/4-C1A其中G是对f-作同样讨论得到者。因of=idcA故GoFidc.由此推出，F：C→C是双全纯映照。引理3.8.如果F：C-→C双全纯，则F（）-+(a、bEC).证，F在C内用幕级数表示，F(z）aaz"，该级数不0能具无穷多项，否则o是F的本性奇点，这时，按Weierstrass定理，对于任一2EC，任给充分小的数ε≥0，在的邻域内，总存在点使IF）一F（）！8.因而F在的邻域内不-一对应，故F（）只能是N次多项式若N>1，则按代数方程基本定理，F：C→C为N：1对应，此与假设矛盾.因此N1.J不失-般性，我们可以假定b0,F(）一az。因若F(0)=b0, 命 T:C-C, T()- wF(0), 则 元T-1: C→C/A'也是万有覆盖，T：C→C为双全纯映照，且诱导相同的双全纯映照f：C/A→C/A.图示如下·22
x'OT-CIA-→CIA因此，取ToF代替F，则可假定F(o）-0，F(）一az若注意到F保持同余类不变，我们便有F(coy) atoi b wi+ pw(3.1)F()-a02 Y0i+ 801其中，β，，BEZ.我们把（3.1）简写成=aA15AEGL（2，Z)（即每一元都是整数的2×2方阵的群）同理，考虑F-时，可得BEGL（2，Z），使得因而有01F-1oFAF-T01F因为w与co2实线性无关，AB一1（单位方阵）.因此det（A）·det(B）=1.由于A和B均整数矩阵,故det(A)一±1.今设一w/0则由（3.1）我们有 ao' + βro2(3.2)→±1+80再设/，则有ar'+pT(3.3)a88±1,+a根据上面推理过程，（3.3）式是C/A与C/A同构的必要条件但这过程反推过去结论反过来亦成立，因此，（3.3）式是C/A与C/A'同构的充分必要条件，.23:
现在我们利用同构关系式（3.3）简化A一（(01，wz））．设4。（(1，0/2)）（或=（（1，02/）)），根据（3.3）式，C/A与C/A同构。与2/1为两个复数，其中必有个虚部为正者。因而在同构意义下，我们只需考虑格4（（1，），其中Im()≥0者这样一来，由于Im（）>0及Im（）≥0，根据（3.3）我们立可算得：ad-ByIm(t) -=%lm(t).从而推出-1总之，我们有下列定理定理3.9.任何环面C/A均同构于某一C/A，其中A。一((1, t)), 3Im(t) ≥ 0. 若 A =((1, )), A ((1, )), 则环面C/A与C/A'同构的充分必要条件为TOT +&.(3.4)a8--1,Yt+。其中,p,丫和8EZ由定理3.9可看出，对于任意，适合（3.4）的只有可数多个，因此如固定环面C/A，则只有可数多个格A使得C/A'与C/A同构，今用另一方法来表达同一事实，在所有环面(C/A)中引进一个等价关系～，使得C/A～C/A→C/A与C/A同构，由～所诱导的所有等价类命为1，即效1内的每一元都是互相同构的环面.据定理3.9，如4一（(1））,4一（(1，T）),则CA与C/A属于1内的同一元一（3.4）或立.因此上面的注记是等于说，41是一无限集。我们可以将，描述得更清楚一点，命H为C的上半平面，即H(zEC：Im（）>0)，由（3.4)所定义的变换r→taartp 1,Y+8'将H映照为自身．这种变换构成一个群，称为模群SI（2，Z）· 24
(modulargroup）.现定义模群的基本域D为H的任一满足如下两条件的子集：（i）如EH，则同余modSI（2，Z）于ED（即存在α，β，，8E2使（3.4）成立），（ii）D内任何两点均不同余modSI（2，z）.由一些初步计算，可得SI（2，Z）的一个基本域如图3.4.其中虚线表示该边界不包括在内。可1图3.4由定理3.9及，和D之定义，可知效1与D成一一对应，即是说，D上每点代表一个环面C/A，而每一环面亦对应于D上的一点，而且D上不同的点代表互不同构的环面，D称为环面的模空间（modulispace)由所谓单值化定理或Abel-Jacobi定理，可证任何与环面同胚的黎曼面都与某一个C/A同构。故又称D为亏格数等于1的模空间。例5.设M为2维复流形，p：M→C为全纯函数，V=(EM：（）=0.如果在V上d永不等于零，则根据隐函数定理，V。是黎曼面习题，证明这断言，习题.设MPC+一这里虽然不是PC上的函数，但Φ的零点在P,C上是确定的.证明V。是一个与环面筒胚的黎曼面。.25
4亚纯函数与亚纯微分先定义黎曼面上的亚纯函数，设M为黎曼面，U为M内任一开集，5：UC为全纯映照，且：U-→（U）双全纯，则U也可作为坐标邻域，作为坐标函数。我们可以把（U，）加进M的原来坐标覆盖U@)中去这样有时很方便，一般来说，我们可以把U看作C的开集U）而把M的局部研究当作C的局部研究。下面若无特别指明，M和N均表示黎曼面，关于全纯映照的定义，可以写成下列引理，引理4.1.设f：M-→N为一映照，：全纯→对于任何点PEM，存在坐标邻域U,使EU,并有坐标函数；及对于）存在坐标邻域W，使f(pEW，并有坐标函数n；使得mojo-为（U）上全纯函数.以后或简单地说，勿为U上全纯函数现在我们列举全纯映照的一些基本性质。1f：M→C为全纯映照→f为全纯函数2）如果M是紧的，则所有全纯函数f：M→C是常数函数。因为M是紧的，的模在M上达到最大值，按全纯函数的极大模原理，于必是常数，3）引理4.2.设：M→S（黎曼球面）为任-一映照，t是全纯映照→>对任一点PEM，及任意的坐标邻域U，使PEU，U是亚纯函数证。首先设：M→S为全纯映照设（U，）为坐标邻域对于任何点EU，当）￥8时，则在附近是全纯函数，当)8时,在S上取坐标函数：S-(0)→C,7(w) / / +00,70w-8.无妨设f(U)CS一（0}，这时根据引理4.1.mf是全纯函数。因·26