此t1/m是U内亚纯函数。反过来,若VPEM,VU,),3PEU,IU亚纯，则f:M-S为全纯映照事实上，当（力）六8时，则在P附近是全纯函数.当p）=8时，在S一（0上取如上的坐标函数，在U上坐标函数可取得使（）0。这时在点P附近U具有展开式) - + + + + 4 +.,名#2一1其中a-0，因而，我们有）一g）/"，其中g（）在附近全纯，由于g（）-a-卡0从而可设处处不等于0.因此在P附近f=1/f是全纯函数.总之，按引理4.1，f：M→N为全纯映照.根据引理4.2，我们可粗略把M上亚纯的函数看作M→S的全纯映照，这样，有时处理一些尚题较为方便因此引进：定义4.3.如果1：M→S为全纯映照，且1车80，则f称为M上的亚纯函数。当MC时，此定义与通常亚纯函数定义一致。4）对于紧黎曼面M上的亚纯函数f，下列各集均为有限集：（f的零点，（的极点，【竹的极点）因为这些点集是由孤立点组成的闭集，而M又是紧的，因此均为有限集。5）定义44.1：M→N称为分歧覆盖，如果对任一点pEM,存在P的邻域U,使得f:U-{p)-→f(U）(f(p)I是一个具有有限叶数的覆盖例如，对于单位圆三{1～1，若）严，则：A→A是一个分歧覆盖。并且当2≠0时，在z的一个邻域内，是单叶覆盖，当*0时，一0→→是叶覆盖、定义4.5.承上所述，如果：U（）-U）P是叶覆盖，则称为的重数。或者说，对于，P覆盖P)次定义4.6.若1：M→N是一个分歧覆盖，且存在~-正整数.27
m，使得对任何gEN，f-(g）恰有m个点（重数计算在内者），则称：MN为一个m叶分歧覆盖。引理4.7.如果f：M→N为全纯映照，则f：M→N是一个分歧覆盖。因为覆盖的定义是局部性的，在局部考虑时，「是全纯函数，显然是分歧覆盖，6）命班（M）为M上所有亚纯函数的集合：m(M)=：M→CU():f亚纯，且f年0).（M）按通常函数的加法和乘法成一个域，称为亚纯函数域到现在为止，我们还不知道0（M）中是否有非常数的函数我们已知道，对于紧的M，非常数的全纯函数1：M→C定不存在.习题.若M为紧的而N非紧，则任何全纯映照f：M→N必为常数映照。设TE（M）且f0.对VpEM，设点P附近的坐标函数为z，（）一0，则在附近有罗朗展开式f(2) az" + an+12#+1 + ***其中62，a，为第一个不等于0的系数。定义4.8.命"f）n，且称为f在点的赋值为了以后方便，当至0时，对于任何PEM，我们规定",(0) - 8.习题.f）与点附近坐标函数的选取无关当<0时，我们称为的极点，一1时称为单极点：n>0时则称为零点，一1为单零点，如果f:M→s为亚纯函数，设f()-a(a0)，则p覆盖a的重数为（f一）习题.定义映照：m(M）一{0)→Z,V()=在的赋值，证明：v,(fg) =(f)+ v,(g),vp(f + g) ≥min(v,(f), (g)).28
现讨论黎曼面上的亚纯微分。定义4.9.设（U，）为M上的坐标邻域，对于U上的亚纯函数t，fdz称为U上的亚纯微分。对VpEU,定义(fdz)一(f)定义4.10.称为黎曼面M上的亚纯微分，如果在任何坐标邻域（U，a）内，一fudzu;fu是亚纯函数，并且对vU，u）与(W，zw）,在UnW上（图3.5)有dzu-w.fuazw对VpEU,我们定义 ()一V(f)习题，（）与坐标邻域（U，u）的选取无关UnWUUu(cw)-图4.1亚纯函数与亚纯微分在某种意义下是相互存在的，现解释如下.若fE（M），则d是亚纯微分.因为，在任何（U，u）与(W,2w)上udrusdf - dfu -dzudfudzw.df dfwdzw而在Unw上，29
dfu dzu dfa.dzp dxwdaw因此符合亚纯微分定义。反之，有亚纯微分必有亚纯函数：若与为两个亚纯微分，测/是亚纯函数，因为在任何（U，z）上，=ds=gudzu而/u一fu/gu不依赖于（U，3u）的选取，因此在M上定义一个亚纯函数。定义4,1l设协为亚纯微分。如果在任何（U，u）上，w=fud%u而tu全纯，则a称为全纯微分，我们也可用52中关于1形式的观点来描述全纯微分。在黎受面上，我们可同样定义（1，0）或（0，1）型的1形式以及（1，1）型的2形式，且也可定义3.这是由于坐标函数变换时，根据引理2.1，型保持不变。例如设为1形式，在坐标邻域（U，）上，fdz.在另一坐标邻域（w，w）上，lW=gdzw，在Unw上，我们有 + dey dw + + dxu dew + deu dzw.o / W-dzwdzwdzw由此可署出保型性.同样，在C上定义的十，也可搬到黎受面上特别是在2中的关于a和的形式运算，在黎曼面上也成立引理4.12.1形式0为全纯微分→为（1：0）型，且0=0.证。若1形式为全纯微分，则在任何（U，z）上，Umfizu，t在上全纯。因此，Ju dudxu0.dzu反之，由于为（1，0）型，在任何（U，z）上，Ufd再若0,则可推出0。由此得的全纯性,3dzu这里，还应注意到，对于全纯微分，d=0.在此之后，若无特别指明，所有提到的黎曼面都认为是紧的。·30
设为亚纯微分，VpEM，设附近的坐标函数为，z)0，则具有表示式Jdz.(4.1)a-n + $-+1 + ... ++ ao + ay& +...2-1定义4.13.在点P的残数Resp（）a-1.下面这个引理说明，Resp（w）的定义与坐标函数的选择无关，所以是合理的。引理4.14.如果在P点的坐标邻域内取以（→）=0为心的圆B，在边界B上取自然定向，则184-tE2元188证.记号如（4.1），则（a+41+.）dz是上全纯微分，（a+az+.d0.由复变函数论得故-n de +... + a- dz + fau+aiz+)dz108J0Bz-1 d = 2 ria-1.118引理4.15，若M是紧的，则对任何亚纯微分，Z Resp(o) -- 0,EM证，首先应指出，因M是紧的，的极点只有有限多个，因而引理中的之仅对有限多个极点求和，设的极点为P，Pz，··p又设B，为包含，的小圆，如引理4.14所述者，且选取B；充分小使当i牛i时，B,nB；中。若命M'M-UB，则在M上全纯，由引理4.12得dw-0根据Stokes定理，我们有2w-0o8i31