第二章单值化定理在前面一章，我们证明了复平面C中的单连通区域在全纯同构的意义下只有两个，即单位圆盘D和整个复平面C.在这一章里，我们引入抽象黎曼曲面的概念并研究黎曼环面和单连通的黎曼曲面的分类，所得结果称为Poincare-Koebe单值化定理.82.1黎曼曲面的定义在单复变函数的研究中，我们经常会遇见多值的全纯函数，在复平面上，它们不能很好地定义，为此人们提出了抽象的黎曼曲面的概念，这个概念被推广到高维，就成为微分流形定义2.1.1（黎曼曲面).设为具有可数拓扑基的T2（即具有Hausdorf性质）的拓扑空间。如果存在的开覆盖(Ua)aer以及每个开集U。上的连续映射中α：Uα→C，且满足如下条件(1)a(U）为C中开集，:Uα→a(Ua）为同胚(2)如果UnU,则转换映射:p(UnU)→a(UanU)为复平面开集之间的全纯映射；则称为黎曼曲面我们把定义中的开覆盖称为局部坐标覆盖，U。称为一个坐标邻域，中称为该坐标邻域上的坐标映射，从定义可以看出，黎曼曲面在局部上可以看成是复平面上的区域.如无特别申明，我们还假定黎曼曲面是连通的，因此也是道路连通的．以下是一些例子：例2.1.1.显然，复平面C中的区域都是黎曼曲面例2.1.2.二维球面.考虑R3中的单位球面S= ((r,y,2)eR3[2? +y?+22=1)令U1 = S2 - ((0, 0, -1),U2 = S? - (0, 0, 1)17
第二章 单值化定理 在前面一章, 我们证明了复平面 C 中的单连通区域在全纯同构的意义下只有 两个, 即单位圆盘 D 和整个复平面 C. 在这一章里, 我们引入抽象黎曼曲面的概念, 并研究黎曼环面和单连通的黎曼曲面的分类, 所得结果称为 Poincar´e-Koebe 单值 化定理. §2.1 黎曼曲面的定义 在单复变函数的研究中, 我们经常会遇见多值的全纯函数, 在复平面上, 它们 不能很好地定义. 为此人们提出了抽象的黎曼曲面的概念, 这个概念被推广到高维, 就成为微分流形. 定义 2.1.1 (黎曼曲面). 设 Σ 为具有可数拓扑基的 T2p 即具有 Hausdorff 性 质 q 的拓扑空间. 如果存在 Σ 的开覆盖 tUαuαPΓ 以及每个开集 Uα 上的连续映射 ϕα : Uα Ñ C, 且满足如下条件 (1) ϕαpUαq 为 C 中开集, ϕα : Uα Ñ ϕαpUαq 为同胚; (2) 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则转换映射 ϕα ˝ ϕ ´1 β : ϕβpUα X Uβq Ñ ϕαpUα X Uβq 为 复平面开集之间的全纯映射; 则称 Σ 为黎曼曲面. 我们把定义中的开覆盖称为局部坐标覆盖, Uα 称为一个坐标邻域, ϕα 称为 该坐标邻域上的坐标映射. 从定义可以看出, 黎曼曲面在局部上可以看成是复平面 上的区域. 如无特别申明, 我们还假定黎曼曲面是连通的, 因此也是道路连通的. 以 下是一些例子: 例 2.1.1. 显然, 复平面 C 中的区域都是黎曼曲面. 例 2.1.2. 二维球面. 考虑 R 3 中的单位球面 S 2 “ tpx, y, zq P R 3 | x 2 ` y 2 ` z 2 “ 1u 令 U1 “ S 2 ´ tp0, 0, ´1qu, U2 “ S 2 ´ tp0, 0, 1qu. 17
18第二章单值化定理则U1,U2为S2的开覆盖.定义同胚Φ1，Φ2如下：:U-C(μ,y,z) - (μ -V-1y)/(1 + z),Φ2:U2- C(r,y,2) (r + V-1)/(1 - 2)01和02之间的转换映射为中20Φ1: C*→ C*wnlw这是一个全纯同构。按照定义，S?就是一个黎曼曲面，跟第一例不同的是，作为黎曼曲面，S2的坐标覆盖中至少要有两个开集（为什么？).这样，我们就得到了一个非平凡的紧致单连通黎曼曲面例2.1.3.复一维投影空间定义CPl为如下商空间CPl = C2 - [0]/ ~其中等价关系～定义如下：z= (z20, z1) ~ w = (wo, wi) Ae C, s.t z = Aw.CP1的拓扑定义为商投影π：C2-0]→Cp1下的商拓扑.设zEC2-[0],用[]来表示其等价类.令Uo = [2] e Cpl [ z = (20,21), 20 + 0],U1 = ([2] e Cpl [ z = (20, 21), 21 ± 0],Uo,Ui为CP1的开覆盖，且同胚映射P0,91定义如下：Po: Uo→ C[2] ~→ 21 / 20, P1: UI-→C[2] → 20/21.Po和1之间的转换映射为o:C*-C*1W-→W
18 第二章 单值化定理 则 U1, U2 为 S 2 的开覆盖. 定义同胚 ϕ1, ϕ2 如下: ϕ1 : U1 Ñ C px, y, zq ÞÑ px ´ ? ´1 yq{p1 ` zq, ϕ2 : U2 Ñ C px, y, zq ÞÑ px ` ? ´1 yq{p1 ´ zq. ϕ1 和 ϕ2 之间的转换映射为 ϕ2 ˝ ϕ ´1 1 : C ˚ Ñ C ˚ w ÞÑ 1 w 这是一个全纯同构. 按照定义, S 2 就是一个黎曼曲面. 跟第一例不同的是, 作为黎 曼曲面, S 2 的坐标覆盖中至少要有两个开集 (为什么?). 这样, 我们就得到了一个 非平凡的紧致单连通黎曼曲面. 例 2.1.3. 复一维投影空间 定义 CP 1 为如下商空间 CP 1 “ C 2 ´ t0u{ ∼ 其中等价关系 ∼ 定义如下: z “ pz0, z1q ∼ w “ pw0, w1q ðñ D λ P C, s.t z “ λw. CP 1 的拓扑定义为商投影 π : C 2 ´ t0u Ñ CP 1 下的商拓扑. 设 z P C 2 ´ t0u, 用 rzs 来表示其等价类. 令 U0 “ trzs P CP 1 | z “ pz0, z1q, z0 ‰ 0u, U1 “ trzs P CP 1 | z “ pz0, z1q, z1 ‰ 0u. U0, U1 为 CP 1 的开覆盖, 且同胚映射 φ0, φ1 定义如下: φ0 : U0 Ñ C rzs ÞÑ z1{z0, φ1 : U1 Ñ C rzs ÞÑ z0{z1. φ0 和 φ1 之间的转换映射为 ϕ0 ˝ ϕ ´1 1 : C ˚ Ñ C ˚ w ÞÑ 1 w
82.1黎曼曲面的定义19这是一个全纯同构.按照定义，CP1为黎曼曲面，这也是一个紧致曲面，与第二例比较，发现这两个例子非常类似，实际上，这是两个同构的黎曼曲面，为了说清这一点，我们引入黎曼曲面之间的全纯映照和全纯同构的概念，定义2.1.2（全纯映射).设M,N均为黎曼曲面，f：M→N为连续映射.如果对任意EM,均存在M上包含的坐标邻域U和N上包含f(a)的坐标邻域Vs，使得f(Ua)cVB,且复合映射ofo-1：p(Ua）→b(Vs）为全纯映射，则称f是黎曼曲面M和N之间的全纯映射（全纯映照）.这里，$和分别是U。和VB上的坐标映射.我们把定义中的复合映射。f-1称为f的一个局部表示，局部表示的全纯性是和坐标映射的选取无关的.全纯映射的局部性质和单复变的全纯函数是一样的，因此，全纯函数的一些结果对于全纯映射仍然成立，例如·设f：M→N为黎曼曲面之间的全纯映射，则f为开映射，除非它是常值映射;·紧致黎曼曲面到C的全纯映射（即全纯函数）必为常值函数（最大模原理)；·设f：M→N为非常值全纯映射，yoEf(M),则M的子集f-1(o）是离散子集，即在M中没有聚点.定义2.1.3（全纯同构).设M,N为黎受曲面.如果存在全纯映射f：M→N及g:N→M,使得gof=idm, fog=idn,则称M与N全纯同构（同构），而此时的f或g称为双全纯映射有了全纯同构的概念，我们就可以区分黎曼曲面，作为简单的例子，三个单连通的黎曼曲面D,C以及S?是互不同构的（为什么？)例2.1.4.黎曼球面我们换一种方式来看2维球面.定义S=Cu()S上的拓扑定义为复平面的加一点紧致化，80表示不在C上的那个无穷远点，它的邻域是形如C-K的C中开集(K为C中紧集).令Ui =S- (0] = C,U2 = S - [0]
§2.1 黎曼曲面的定义 19 这是一个全纯同构. 按照定义, CP 1 为黎曼曲面. 这也是一个紧致曲面, 与第二例 比较, 发现这两个例子非常类似. 实际上, 这是两个同构的黎曼曲面. 为了说清这 一点, 我们引入黎曼曲面之间的全纯映照和全纯同构的概念. 定义 2.1.2 (全纯映射). 设 M, N 均为黎曼曲面, f : M Ñ N 为连续映射. 如 果对任意 x P M, 均存在 M 上包含 x 的坐标邻域 Uα 和 N 上包含 fpxq 的坐标邻 域 Vβ, 使得 fpUαq Ă Vβ, 且复合映射 ψ ˝ f ˝ φ ´1 : φpUαq Ñ ψpVβq 为全纯映射, 则 称 f 是黎曼曲面 M 和 N 之间的全纯映射 p 全纯映照 q. 这里, φ 和 ψ 分别是 Uα 和 Vβ 上的坐标映射. 我们把定义中的复合映射 ψ ˝ f ˝ φ ´1 称为 f 的一个局部表示, 局部表示的全 纯性是和坐标映射的选取无关的. 全纯映射的局部性质和单复变的全纯函数是一 样的, 因此, 全纯函数的一些结果对于全纯映射仍然成立, 例如 • 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, 则 f 为开映射, 除非它是常值映 射; • 紧致黎曼曲面到 C 的全纯映射 (即全纯函数) 必为常值函数 (最大模原理); • 设 f : M Ñ N 为非常值全纯映射, y0 P fpMq, 则 M 的子集 f ´1 py0q 是离散 子集, 即在 M 中没有聚点. 定义 2.1.3 (全纯同构). 设 M, N 为黎曼曲面. 如果存在全纯映射 f : M Ñ N 及 g : N Ñ M, 使得 g ˝ f “ idM, f ˝ g “ idN , 则称 M 与 N 全纯同构 p 同构 q, 而此时的 f 或 g 称为双全纯映射. 有了全纯同构的概念, 我们就可以区分黎曼曲面. 作为简单的例子, 三个单连 通的黎曼曲面 D, C 以及 S 2 是互不同构的 (为什么?). 例 2.1.4. 黎曼球面 我们换一种方式来看 2 维球面. 定义 S “ C Y t8u, S 上的拓扑定义为复平面的加一点紧致化, 8 表示不在 C 上的那个无穷远点, 它 的邻域是形如 C ´ K 的 C 中开集 (K 为 C 中紧集). 令 U1 “ S ´ t8u “ C, U2 “ S ´ t0u
20第二章单值化定理Ui,U2为S的开覆盖，映射1，2定义如下：P1:UI-→C2 -→2,P2 : U2 -→ C[1, 2# 00,→0,2= 00.在S的拓扑之下，P1，(p2均为同胚，且转换映射中200-1：C*-C*un!w为全纯同构.因此，S是紧致黎曼曲面.实际上，这个黎曼曲面和我们前面第二例中定义的黎曼曲面是同构的.定义从S2到S的映射如下：f: ?→s，(z,y,2)(0,0,1),-(a, y,2) -(00,(r,9,2) = (0,0,1)容易验证于是双全纯映射.同理，可以证明CPl和S也是同构的，统称黎曼球面，以后我们将不再区分它们下面我们来构造另一类紧致黎曼曲面.为此，设w1，w2为实线性无关的两个复数（即wi,w2≠0,w1/w2R）.记A为w1,w2在C中生成的离散子群：A= (mw1 + nw2 [ m, n e Z) = (w1,w2)子群A自然地作用在C上，从而有商空间C/A=C/~.这里，等价关系～定义为z~w3m,neZ,s.tz=w+mwi+nw2用[表示z的等价类，元：C→C/A,z→[]为商投影CA上的拓扑定义为商拓扑.下面我们来说明，在此拓扑下，C/A是黎曼曲面.为此，令 =infJmwi + nw2l > 0.(m.n)+(0.0任给 pe C/A,取 zpE π-1(p)。令 Wp= (w eC / lw-zpl<8/2),U,=π(Wp).按照商拓扑的定义，Up为C/A上的开集，且由的选取知，lw，：Wp→U，是同胚映射.令Pp: Up-WpCq-(|w,)-1(q)
20 第二章 单值化定理 U1, U2 为 S 的开覆盖, 映射 φ1, φ2 定义如下: φ1 : U1 Ñ C z ÞÑ z, φ2 : U2 Ñ C z ÞÑ $ & % 1 z , z ‰ 8, 0, z “ 8. 在 S 的拓扑之下, φ1, φ2 均为同胚, 且转换映射 ϕ2 ˝ ϕ ´1 1 : C ˚ Ñ C ˚ w ÞÑ 1 w 为全纯同构. 因此, S 是紧致黎曼曲面. 实际上, 这个黎曼曲面和我们前面第二例中 定义的黎曼曲面是同构的. 定义从 S 2 到 S 的映射如下: f : S 2 Ñ S px, y, zq ÞÑ $ & % x` ? ´1 y 1´z , px, y, zq ‰ p0, 0, 1q, 8, px, y, zq “ p0, 0, 1q. 容易验证 f 是双全纯映射. 同理, 可以证明 CP 1 和 S 也是同构的, 统称黎曼球面, 以后我们将不再区分它们. 下面我们来构造另一类紧致黎曼曲面. 为此, 设 ω1, ω2 为实线性无关的两个复 数 ( 即 ω1, ω2 ‰ 0, ω1{ω2 R R ). 记 Λ 为 ω1, ω2 在 C 中生成的离散子群: Λ “ tmω1 ` nω2 | m, n P Zu “ xω1, ω2y. 子群 Λ 自然地作用在 C 上, 从而有商空间 C{Λ “ C{ ∼. 这里, 等价关系 ∼ 定义为 z ∼ w ðñ D m, n P Z, s.t z “ w ` mω1 ` nω2. 用 rzs 表示 z 的等价类, π : C Ñ C{Λ, z ÞÑ rzs 为商投影. C{Λ 上的拓扑定义为商 拓扑. 下面我们来说明, 在此拓扑下, C{Λ 是黎曼曲面. 为此, 令 δ “ inf pm,nq‰p0,0q |mω1 ` nω2| ą 0. 任给 p P C{Λ, 取 zp P π ´1 ppq. 令 Wp “ tw P C ˇ ˇ |w ´ zp| ă δ{2u, Up “ πpWpq. 按照 商拓扑的定义, Up 为 C{Λ 上的开集, 且由 δ 的选取知, π|Wp : Wp Ñ Up 是同胚映 射. 令 φp : Up Ñ Wp Ă C q ÞÑ pπ|Wp q ´1 pqq
2182.1黎曼曲面的定义则p为Up上的坐标映射；如果UpnU则存在EA,使得p(2)=z+w.从而C/A在坐标覆盖((Up,Pp))下为黎曼曲面我们把如上构造的黎曼曲面总称为黎曼环面，它们具有如下一些性质：·商投影元：C→C/A为全纯复选映射·任何两个黎曼环面C/A1，C/A2都是同胚（微分同胚）的·设f:C/A1→C/A2为两个黎曼环面之间的连续映射，f([0])=[0].则存在惟一的连续映射于：C→C于(0)=0,且满足下面的交换图表：clc[C/A1 /, C/A2其中元1，元2分别为商投影.并且如果于为全纯映射，则于也是全纯映射(全纯函数），于称为f提升由于任意两个实线性无关的复数都能生成一个离散子群，进而得到黎曼环面我们就有了黎曼曲面的大量例子，这些曲面都是非平凡的黎曼曲面，接下来的一个问题就是，如何区分这些黎曼环面？自然地，我们用全纯同构来区分它们首先我们有命题2.1.1.(i)任给黎曼环面C/A上一点p,均存在全纯自同构fp : C/A-C/A使得fp(p) = [0].(i)黎曼环面 C/w1,w2)与C/<1,w1/w2)及C/<1,w2/wi)全纯同构证明. (i).取定 zpEπ-1(p).定义 fp:C/A→C/△为fp([w]) =[w-zp]易见这是定义好的全纯自同构.(i). 定义f : C/<w1,w2)→C/<1,w1/w2)为f([2]) = [z[w2]易见f是定义好的全纯同构.交换1和w2的位置就得到另一个全纯同构。口
§2.1 黎曼曲面的定义 21 则 φp 为 Up 上的坐标映射; 如果 Up X Uq ‰ H , 则存在 ω P Λ, 使得 φp ˝ φ ´1 q pzq “ z ` ω. 从而 C{Λ 在坐标覆盖 tpUp, φpqu 下为黎曼曲面. 我们把如上构造的黎曼曲面总称为黎曼环面, 它们具有如下一些性质: • 商投影 π : C Ñ C{Λ 为全纯复迭映射; • 任何两个黎曼环面 C{Λ1, C{Λ2 都是同胚 (微分同胚) 的; • 设 f : C{Λ1 Ñ C{Λ2 为两个黎曼环面之间的连续映射, fpr0sq “ r0s. 则存在惟 一的连续映射 ˜f : C Ñ C, ˜fp0q “ 0, 且满足下面的交换图表: C f˜ ÝÝÝÝÑ C π1 § § đ § § đπ2 C{Λ1 f ÝÝÝÝÑ C{Λ2 其中 π1, π2 分别为商投影. 并且如果 f 为全纯映射, 则 ˜f 也是全纯映射 (全纯函数), ˜f 称为 f 提升. 由于任意两个实线性无关的复数都能生成一个离散子群, 进而得到黎曼环面, 我们就有了黎曼曲面的大量例子, 这些曲面都是非平凡的黎曼曲面. 接下来的一个 问题就是, 如何区分这些黎曼环面? 自然地, 我们用全纯同构来区分它们. 首先我 们有 命题 2.1.1. piq 任给黎曼环面 C{Λ 上一点 p, 均存在全纯自同构 fp : C{Λ Ñ C{Λ, 使得 fpppq “ r0s. piiq 黎曼环面 C{xω1, ω2y 与 C{x1, ω1{ω2y 及 C{x1, ω2{ω1y 全纯同构. 证明. (i). 取定 zp P π ´1 ppq. 定义 fp : C{Λ Ñ C{Λ 为 fpprwsq “ rw ´ zps, 易见这是定义好的全纯自同构. (ii). 定义 f : C{xω1, ω2y Ñ C{x1, ω1{ω2y 为 fprzsq “ rz{ω2s, 易见 f 是定义好的全纯同构. 交换 ω1 和 ω2 的位置就得到另一个全纯同构.