L,nu,U,R@,p,4(U)e(u,)1e,(u,nu,)o,(u,nu,)图3.1全纯的，才能使定义3.3不发生自相矛盾，定义3.4，UCC，是C*中的开集，f：U→C是全纯的，如果（≥1，，，）是C的，而且固定任何一1个变数时，是另一个变数的全纯函数，现在有f=（f,,t）：U-→V,UC，VCC"，分别都是C与C中的开集，如果t，，fm都是全纯的，则称为全纯映照.定义3.5.设M和N是两个复流形，（（U，@)}与[（Vi，))分别是M和N的坐标覆盖.f：M→N是一个映照，如果对任意的i,i,Tofol :@(U)-→@(V)是全纯映照，那末就称：MN是全纯映照个单变数的全纯函数，如将其看成是f：C→C的个全纯映照，则可以用所有的几何工具来研究全纯函数，引理3.6，复流形皆是可定向的(一个实n维流形M称为可定向的，如果存在M的一个坐标覆盖{(U：，@))（实流形的坐标覆盖的定义与前面给的复流形的坐标覆盖的定义类似），使Jacobian (@,o@,) > 0- 17 *
对任意的：成立，）引理3.6的证明。我们仅对黎曼面来证．一般复流形的证明是类似的，只是表示式较为复杂些而已，今在(U)内设一十,在(U)内设w+i有a(u, )-LduJacobian (@o@)->0o(x, y)ds其中最后-个等式成立是由于Cauchy-Riemann方程，因为@,o@！w是，之逆，因此>0.Jde如读者不熟悉实流形可定向的概念，则上述定义可能较抽象。一个直观的解释可由如下想法得出：设M为R内的一个曲面（2维实流形），则M可定间的充婴条件为M具有一可微分的单位法线。这个断言的证明是不难的，设M为复流形，PEM(U，史）为P的坐标邻域，更：U-→C"一般来说，我们把U和C内的开集（U）认同，也把和@（）认同。所以如果（z1，，）是C”上的坐标函数，则（就变成U上的函数，称【）为U上的坐标函数，下面列举黎曼面的例子。例1.P,C是一复流形首先复习对PC引入的自然拓扑，设自然映照元：C-[0] →P,C, m(20, 21, 22) =[201,2]. P,C的开集为 [元(U): U是C一（0)的开集其次，定义坐标覆盖{U，@如下：U=([z0,z1,22]:z*0];U1 - [[20, 21, 2] : 21 + 0];U, = ([z0, z1, z2] : 22 + 0].坐标映照为@ : U。→C3, @([20, 21, 32]) (21/20, 22/z0);Pr : Ur-→C, P([2, z1, z2]) (20/3, 22/ z):@, : U1 -→ C3, @2([20, 213 32l) (20/22, x1/22)..19
显然，PC=UUUUUU(i0,12）是PC中的开集，面@：：U,一→C是一对应，且是一同胚。此外不难验证，所有的p,0:C*×C-C*×C(或C×C*→C×C*)为全纯映照（这里C*=C一{0]，下同）.例如，对（z，w)EC*×C,Pgc(，w）@（[，l，wl）一（1/，w/）便是全纯映照，习题，证明是全纯映照。习题，同理证明PC是一个n维复流形定义3.7两复流形M与N称为同构，如果存在全纯映照：MN,中：N→M，使=inoq-m其中i和均为恒等映照并且，具有这种性质的中（）称为双全纯映照习题.设M和N为黎曼面，则f：M→N为双全纯映照一f为个一（单的）且满的全纯映照。习题，设M和N为紧黎曼面，则f：M→N为双全纯映照一存在有限集A和B，使ACM，BCN，且f：M一A→N一B为双全纯映照。例2.C和C内的单位圆△」1]在通常意义下均是复流形，作为拓扑空间，C与△同胚，但作为复流形时，C与△不同构.因为任意C→A的全纯函数即C上有界全纯函数，故恒等于常数.例3.黎曼球面S，这里我们定义S=CU(o).S是复流形,其坐标覆盖（（U，Φ》（=0，1)定义如下：U.-C,Ur- S-{0];P,: U→C, Po()-r,0 : U,→C, 0(z) =[1/z, *+ 00,10, z=80.在S的自然拓扑下，Φ。和均是全纯映照，并且P,oΦ*: C*→C*, Φ,dil = 1/z,显然是全纯映照。因而S是1维复流形现考虑单位球面（：++1]?19*
Z也是复流形：（@（0，1）可如下定义设N=(0,0,1)北极),S=(0,0，-)（南极)U.- Z-{S, @.: U.-→C;U - Z-- [N), @: U-→C.其中@为从N到*y平面的球极投影（图3.2)，P(p, P2, p) = + ip2;1-P@。为从S到平面的球极投影后取共轭，N(pu.prps)R中05图3.2(p1, ps p) i= ip1我们有Pop-! : C*→ C*, Podr'(z) - 1/%.因此，是复流形习题．Z与S同构。最后，P按下面定义的（U=0）也是1维复流形.Ua [[z0, ] : % + 0],U1 -([20, 21 : z* 0];P。: U-C, P([z0 z]) z/20)Pr : U, -→C, ([z0, zil) = zo/ z1.同样，.20
PoΦi': C*→ C*, @goi'(2) - 1/2是全纯映照。习题.P,C与S同构。附注。根据后面证明的Riemann-Roch定理可以推出，所有与S同胚的黎受面必与S同构（见下面$6），这是球面S独有的性质。下面的例子表明，环面将不具有这种性质。例4.环面C/A.设且实线性无关（0，/R）.为102生成的C的离散子群：A=(mor 十 nor : m、nEZ=((1, w2)),（其中Z为整数环)．A在C上是,和z为边的平行四边形网的格点(图3.3)．A称为格图3.3现证商群C/4是黎曼面，设自然映照：C-→C/AC/A可看作C的子集frw+:0r<l,0sl;r,seR.称它为A的基本域。对于VPEC/A,P的邻域U,是指U,在C内是P的邻域且其内任两点不（modA）同余者.命@，：U，→C为恒等映照，则显然[(U，@，）：PEC/A)为C/A的坐标覆盖。因此C/A是黎曼面；且x：CC/A是全纯映照，因为它在坐标邻域上为恒-21*