附录附录A三角剖分和Euler数我们考虑紧致黎曼曲面M.M上的闭集T称为一个三角形，如果它是平面C上某个三角形的拓扑像.这时，平面三角形顶点的像称为T的顶点，边的像也称为边.如果有限个三角形T)组成了M的一个覆盖，且其中两个三角形T，T，要么不相交，要么交于某个顶点，要么交于某条边，则称（T）为M的一个三角剖分.容易看出，黎曼球面上存在很多三角剖分命题5.6.2.紧致黎曼曲面总存在三角剖分证明.设M为紧致黎曼曲面，取M上的非常值亚纯函数f：M→S,取S的一个三角剖分，使得f的分歧点的像均为该三角剖分的顶点，于是S的这个三角部分中的三角形在于下的原像仍为三角形，从而S的这个三角部分经过于拉回后口成为M的一个三角剖分给定M的一个三角剖分，记其顶点的个数为V，边的个数为E，三角形（面)的个数为F，定义X=F-E+V.根据初等的代数拓扑学，我们知道X是一个拓扑不变量，它不依赖于M的三角部分的选取，称为M的Euler数，下面我们来计算此Euler数容易算出，黎曼球面的Euler数为2对于一般的紧致黎曼曲面M由于X不依赖于三角部分的选取，因此我们采用上面命题中的三角剖分设S上的三角剖分有V个顶点，E'条边和F'个面.设f的重数为n，则由于s的三角形内的点在M上有n个不同的原像，因此M的拉回剖分有F=nF"个面；同理，拉回剖分有E=nE条边.设q为S的三角剖分的顶点，则其原像个数为n-B.，其中Ba=Z bp(f).pef-i(a)因此拉回分顶点个数为V = nV'-EB = nV"- Bf4利用Riemann-Hurwitz定理，有X = F- E + V= n(F' - E' + V') - Bf = 2n -[(2g - 2) - n(0 - 2)] = 2 - 2g其中g为M的亏格185
附录 附录 A 三角剖分和 Euler 数 我们考虑紧致黎曼曲面 M. M 上的闭集 T 称为一个三角形, 如果它是平面 C 上某个三角形的拓扑像. 这时, 平面三角形顶点的像称为 T 的顶点, 边的像也称为 边. 如果有限个三角形 tTiu 组成了 M 的一个覆盖, 且其中两个三角形 Ti , Tj 要么 不相交, 要么交于某个顶点, 要么交于某条边, 则称 tTiu 为 M 的一个三角剖分. 容 易看出, 黎曼球面上存在很多三角剖分. 命题 5.6.2. 紧致黎曼曲面总存在三角剖分. 证明. 设 M 为紧致黎曼曲面, 取 M 上的非常值亚纯函数 f : M Ñ S, 取 S 的 一个三角剖分, 使得 f 的分歧点的像均为该三角剖分的顶点. 于是 S 的这个三角 剖分中的三角形在 f 下的原像仍为三角形, 从而 S 的这个三角剖分经过 f 拉回后 成为 M 的一个三角剖分. 给定 M 的一个三角剖分, 记其顶点的个数为 V , 边的个数为 E, 三角形 (面) 的个数为 F, 定义 χ “ F ´ E ` V, 根据初等的代数拓扑学, 我们知道 χ 是一个拓扑不变量, 它不依赖于 M 的三角剖 分的选取, 称为 M 的 Euler 数, 下面我们来计算此 Euler 数. 容易算出, 黎曼球面 的 Euler 数为 2. 对于一般的紧致黎曼曲面 M, 由于 χ 不依赖于三角剖分的选取, 因此我们采 用上面命题中的三角剖分. 设 S 上的三角剖分有 V 1 个顶点, E1 条边和 F 1 个面. 设 f 的重数为 n, 则由于 S 的三角形内的点在 M 上有 n 个不同的原像, 因此 M 的拉回剖分有 F “ nF1 个面; 同理, 拉回剖分有 E “ nE1 条边. 设 q 为 S 的三角 剖分的顶点, 则其原像个数为 n ´ Bq, 其中 Bq “ ÿ pPf´1pqq bppfq. 因此拉回剖分顶点个数为 V “ nV 1 ´ ÿ q Bq “ nV 1 ´ Bf . 利用 Riemann-Hurwitz 定理, 有 χ “ F ´ E ` V “ npF 1 ´ E 1 ` V 1 q ´ Bf “ 2n ´ rp2g ´ 2q ´ np0 ´ 2qs “ 2 ´ 2g, 其中 g 为 M 的亏格. 185
附录 B186附录BHodge定理的证明我们在这个附录中给出第五章中Hodge定理的证明.设L是紧致黎曼曲面M上的全纯线丛，我们在前面已经证明过，调和形式的空间H(L）是有限维的，因此存在投影H：A(L)→H(L)，使得对任意的αEA(L)，均有(α - Ho,T) = 0, VTEH(L)即-HEH-(L),其中H-(L) = (α EA(L)I(α, T) = 0, V TEH(L))我们要证明，任给αEH-(L),存在TEA(L)，使得T = 0.这个问题之所以有解，是因为口是一个“椭圆”算子，求解的基本步骤是，先找一个“弱解”，然后逐步提升解的正则性从而最终得到光滑解，为此我们在比光滑形式的空间A(L）更大的一类空间中考虑问题，即要考虑L值微分形式的Sobolev空间，它们是A(L)在某种范数下的完备化.设EA(L),令[olo = [(o,0)],[·Jo在A(L)中定义了一个范数，A(L)在此范数下的完备化是一个Hilbert空间记为Ho(L).考虑A(L)中的算子P=+9,令loll =[(o,o) + (Pa, Po)), VE A(L)I·I1在A(L)中也定义了一个范数，A(L)在此范数下的完备化记为H1(L)。对于s≥1，我们递归地定义范数」·s+1如下Jo]s+1 =[o +[Po], V A(L),A(L)在范数·Is+1下的完备化记为Hs+1(L)这些空间H。(L)统称为线丛L上的Sobolev空间，由范数的定义可知... C Hs+1(L) C H.(L) C ... C Hi(L) C Ho(L)对于k≥0,记Ck(L)为Ck的L值微分形式全体组成的线性空间。设αEHo(L),如果存在 ECk(L)使得Ja-Tlo=0,则称ECk(L)或=TEC*(L)设n≥1,EHo(L),如果存在eHo(L)使得(o',T) = (o, PnT), VTE A(L)
186 附录 B 附录 B Hodge 定理的证明 我们在这个附录中给出第五章中 Hodge 定理的证明. 设 L 是紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 我们在前面已经证明过, 调和形式的空间 HpLq 是有限维的, 因此存 在投影 H : ApLq Ñ HpLq, 使得对任意的 σ P ApLq, 均有 pσ ´ Hσ, τ q “ 0, @ τ P HpLq. 即 σ ´ Hσ P HKpLq, 其中 HKpLq “ tσ P ApLq | pσ, τ q “ 0, @ τ P HpLqu. 我们要证明, 任给 σ P HKpLq, 存在 τ P ApLq, 使得 τ “ σ. 这个问题之所以有解, 是因为 是一个 “椭圆” 算子. 求解的基本步骤是, 先找一 个 “弱解”, 然后逐步提升解的正则性从而最终得到光滑解. 为此我们在比光滑形 式的空间 ApLq 更大的一类空间中考虑问题, 即要考虑 L 值微分形式的 Sobolev 空 间, 它们是 ApLq 在某种范数下的完备化. 设 σ P ApLq, 令 |σ|0 “ rpσ, σqs 1 2 , | ¨ |0 在 ApLq 中定义了一个范数, ApLq 在此范数下的完备化是一个 Hilbert 空间, 记为 H0pLq. 考虑 ApLq 中的算子 P “ ¯B ` ϑ, 令 |σ|1 “ rpσ, σq ` pP σ, P σqs 1 2 , @ σ P ApLq. | ¨ |1 在 ApLq 中也定义了一个范数, ApLq 在此范数下的完备化记为 H1pLq. 对于 s ě 1, 我们递归地定义范数 | ¨ |s`1 如下 |σ|s`1 “ r|σ| 2 0 ` |P σ| 2 s s 1 2 , @ σ P ApLq, ApLq 在范数 | ¨ |s`1 下的完备化记为 Hs`1pLq. 这些空间 HspLq 统称为线丛 L 上 的 Sobolev 空间, 由范数的定义可知 ¨ ¨ ¨ Ă Hs`1pLq Ă HspLq Ă ¨ ¨ ¨ Ă H1pLq Ă H0pLq. 对于 k ě 0, 记 C k pLq 为 C k 的 L 值微分形式全体组成的线性空间. 设 σ P H0pLq, 如果存在 τ P C k pLq 使得 |σ ´ τ |0 “ 0, 则称 σ P C k pLq 或 σ “ τ P C k pLq. 设 n ě 1, σ P H0pLq, 如果存在 σ 1 P H0pLq 使得 pσ 1 , τ q “ pσ, P n τ q, @ τ P ApLq,
附录B187则称在弱的意义下Pn存在，记为Png=(弱).显然，如果EC(L),n≥1,则在弱的意义下的Pnα跟通常意义下的微分算子的作用是一致的，因此在不引起混淆时我们可把“弱”字省去.我们有如下几个重要的引理：引理5.6.3.Hs+1(L)=H+1(L)=(α EH(L)/PEH(L)),Vs≥0.并且[o+1 = [o + [Po?引理5.6.4(Rellich).包含映射i：Hi(L)→Ho(L)为紧算子引理 5.6.5 (Sobolev). H2+s(L) cC(L), V s ≥0.我们先假定上面的三个引理是成立的，下面用它们来推导Hodge定理，首先，由Rellich引理可以重新证明H(L）是有限维的：事实上，如果H(L）不是有限维的，则存在一列在内积（）下规范正交的(α)CA(L),P,=0.此时=+P2==1因而由Rellich引理，(o)在Ho(L)中存在Cauchy收敛子列,但这和[o;-o,l=2,ii相矛盾下面继续证明Hodge定理.我们有引理 5.6.6 (Weyl). (1)设 α e Ho(L), P E A(L), 则 E A(L);(2)设GEH(L),EA(L),则EA(L).证明.(1)设gEHo(L),PEA(L)CHo(L)，由引理5.6.3,EHi(L).现在仍由PaEA(L)CHi(L)得α EH2(L).由此类推,最后得GEH(L), Vs≥O由Sobolev引理知gECk(L), Vk≥0.即EA(L)(2)设 EHi(L), EA(L),则 PαEHo(L), P(Po)=αEA(L). 由 (1)知口PαEA(L),再用一次(1)知EA(L)这个引理也称为算子P和=P2的正则性引理。特别地，如果αEHo(L),P=0或=0,则 EA(L)引理5.6.7.存在正常数c，使得(Po, Po) ≥c(a,o), V αeH-(L)
附录 B 187 则称在弱的意义下 P nσ 存在, 记为 P nσ “ σ 1 (弱). 显然, 如果 σ P C npLq, n ě 1, 则 在弱的意义下的 P nσ 跟通常意义下的微分算子的作用是一致的, 因此在不引起混 淆时我们可把 “弱” 字省去. 我们有如下几个重要的引理: 引理 5.6.3. Hs`1pLq “ H1 s`1 pLq “ tσ P HspLq | P σ P HspLqu, @ s ě 0. 并且 |σ| 2 s`1 “ |σ| 2 0 ` |P σ| 2 s . 引理 5.6.4 (Rellich). 包含映射 i : H1pLq Ñ H0pLq 为紧算子. 引理 5.6.5 (Sobolev). H2`spLq Ă C s pLq, @ s ě 0. 我们先假定上面的三个引理是成立的, 下面用它们来推导 Hodge 定理. 首先, 由 Rellich 引理可以重新证明 HpLq 是有限维的: 事实上, 如果 HpLq 不是有限维的, 则存在一列在内积 p,q 下规范正交的 tσiu Ă ApLq, P σi “ 0. 此时 |σi | 2 1 “ |σi | 2 ` |P σi | 2 “ |σi | 2 “ 1, 因而由 Rellich 引理, tσiu 在 H0pLq 中存在 Cauchy 收敛子列, 但这和 |σi ´σj | 2 0 “ 2, i ‰ j 相矛盾. 下面继续证明 Hodge 定理. 我们有 引理 5.6.6 (Weyl). p1q 设 σ P H0pLq, P σ P ApLq, 则 σ P ApLq; p2q 设 σ P H1pLq, σ P ApLq, 则 σ P ApLq. 证明. p1q 设 σ P H0pLq, P σ P ApLq Ă H0pLq, 由引理 5.6.3, σ P H1pLq. 现在仍 由 P σ P ApLq Ă H1pLq 得 σ P H2pLq. 由此类推, 最后得 σ P HspLq, @ s ě 0. 由 Sobolev 引理知 σ P C k pLq, @ k ě 0. 即 σ P ApLq. p2q 设 σ P H1pLq, σ P ApLq, 则 P σ P H0pLq, PpP σq “ σ P ApLq. 由 p1q 知 P σ P ApLq, 再用一次 p1q 知 σ P ApLq. 这个引理也称为算子 P 和 “ P 2 的正则性引理. 特别地, 如果 σ P H0pLq, P σ “ 0 或 σ “ 0, 则 σ P ApLq. 引理 5.6.7. 存在正常数 c, 使得 pP σ, P σq ě c 2 pσ, σq, @ σ P HKpLq.
附录B188证明.我们用反证法.如果不然，则存在一列oiEH-（L)，使得(oioi)=l, (Poi,Po)-→0, i-→00这说明(o)在Hi(L)中为有界点列.由Rellich引理，存在(oi)的子列，仍记为(αi),在Ho(L)中收敛，记其极限为a.对任意TEA(L),有I(, Pr)[ = lim [(oi, P)= lim I(Pos,T)l≤ lim |Poilo· I-lo= 0.这说明Po=0(弱).由上面的Weyl 引理，αA(L)，从而αEH(L).又由αiH-(L)得(o,0) = lim (o,0:) = lim 0 = 0,口因此=0.但这跟(i,i)=1以及αi在Ho(L)中收敛于α相矛盾这个引理表明，在H+(L）上我们可以定义范数I·[P[olp = (Po, Po),并且范数I·Ip和I·I等价.我们把H-(L)在范数I·Ip下的完备化记为H+(L)CHi(L),这是一个Hilbert空间，其内积记为[]引理5.6.8.□:H(L)→H(L)为线性同构，且其逆-1满足[□-1010 ≤ c1]010.证明.首先，如果αEA(L)，则(o,T) = (α,T) = (α, 0) = 0, V TEH(L)因此EH-(L).其次，如果EH-(L),=0,则EH(L),从而=0.这说明口为单射为了说明口为满射，给定EH-(L),我们在H-(L)定义如下线性泛函p:p(f) = (f,T), V feH+(L)由刚才的引理，I()[ = 1(f,)|≤Iflo -Ilo ≤c-lolflp
188 附录 B 证明. 我们用反证法. 如果不然, 则存在一列 σi P HKpLq, 使得 pσi , σiq “ 1, pP σi , P σiq Ñ 0, i Ñ 8. 这说明 tσiu 在 H1pLq 中为有界点列. 由 Rellich 引理, 存在 tσiu 的子列, 仍记为 tσiu, 在 H0pLq 中收敛, 记其极限为 σ. 对任意 τ P ApLq, 有 |pσ, P τ q| “ lim iÑ8 |pσi , P τ q| “ lim iÑ8 |pP σi , τ q| ď lim iÑ8 |P σi |0 ¨ |τ |0 “ 0. 这说明 P σ “ 0(弱). 由上面的 Weyl 引理, σ P ApLq, 从而 σ P HpLq. 又由 σi P HKpLq 得 pσ, σq “ lim iÑ8 pσ, σiq “ lim iÑ8 0 “ 0, 因此 σ “ 0. 但这跟 pσi , σiq “ 1 以及 σi 在 H0pLq 中收敛于 σ 相矛盾. 这个引理表明, 在 HKpLq 上我们可以定义范数 | ¨ |P , |σ|P “ pP σ, P σq 1 2 , 并且范数 | ¨ |P 和 | ¨ |1 等价. 我们把 HKpLq 在范数 | ¨ |P 下的完备化记为 HKpLq Ă H1pLq, 这是一个 Hilbert 空间, 其内积记为 r,s. 引理 5.6.8. : HKpLq Ñ HKpLq 为线性同构, 且其逆 ´1 满足 | ´1σ|0 ď c ´1 |σ|0. 证明. 首先, 如果 σ P ApLq, 则 p σ, τ q “ pσ, τ q “ pσ, 0q “ 0, @ τ P HpLq. 因此 σ P HKpLq. 其次, 如果 σ P HKpLq, σ “ 0, 则 σ P HpLq, 从而 σ “ 0. 这说 明 为单射. 为了说明 为满射, 给定 τ P HKpLq, 我们在 HKpLq 定义如下线性泛函 φ: φpfq “ pf, τ q, @ f P HKpLq. 由刚才的引理, |φpfq| “ |pf, τ q| ď |f|0 ¨ |τ |0 ď c ´1 |τ |0|f|P .
附录B189因此为H-（L）上的有界线性泛函，它可以惟一地延拓为H-（L）上的有界线性泛函，仍记为根据Riesz表示定理，存在αEH(L)，使得p(f) =[f,o], Vf e H-(L).特别地，(f,) =(f,o), V feH-(L)因为TEH+（L)，故上式对任意fEA(L）也成立.这意味着α = T(弱)口由Weyl引理，αEA(L).这说明为满射现在我们定义如下线性算子G: A(L) →A(L)α - -l(α-Ho)其中H：A(L)→H(L)为投影，因此α-HαEH-(L)我们证明G为紧算子.设(o)CA(L),la;lo≤1,Vi.由Rellich引理，我们只要证明(Go)在Hi(L)中有界即可.事实上，Goli=(Got,Go)+(PGoi,PGo)=(-1(o,-Ho,),-1(o-Ho,)) + (-1(o,-Ho,),-1(o,-Ho,)≤c-Joi-Hal + ai-Hailo-(oi-Ha)lo≤c-2+c-1.这说明G的确为紧算子.现在，任给αEA(L)，有Go =-1(α-Ho) = α -Ho,即a=Ho+Go.这说明我们有正交分解A(L)=H(L)④口GA(L)最后说明G=G,G=G.以前者为例，注意到H(L)H(L),GA(L)H-(L),因此有Gaa=Ga(Ha+Go)=GG=GaGo=aGo下面我们来给出引理5.6.3，5.6.4，5.6.5的证明.这些证明依赖于一个光滑化的算子.我们有
附录 B 189 因此 φ 为 HKpLq 上的有界线性泛函, 它可以惟一地延拓为 HKpLq 上的有界线性 泛函, 仍记为 φ. 根据 Riesz 表示定理, 存在 σ P HKpLq, 使得 φpfq “ rf, σs, @ f P HKpLq. 特别地, pf, τ q “ p f, σq, @ f P HKpLq. 因为 τ P HKpLq, 故上式对任意 f P ApLq 也成立. 这意味着 σ “ τ p弱q. 由 Weyl 引理, σ P ApLq. 这说明 为满射. 现在我们定义如下线性算子 G : ApLq Ñ ApLq σ ÞÑ ´1 pσ ´ Hσq. 其中 H : ApLq Ñ HpLq 为投影, 因此 σ ´ Hσ P HKpLq. 我们证明 G 为紧算子. 设 tσiu Ă ApLq, |σi |0 ď 1, @ i. 由 Rellich 引理, 我们只要证明 tGσiu 在 H1pLq 中有界 即可. 事实上, |Gσi | 2 1 “ pGσi , Gσiq ` pP Gσi , P Gσiq “ p ´1 pσi ´ Hσiq, ´1 pσi ´ Hσiqq ` p´1 pσi ´ Hσiq, ´1 pσi ´ Hσiqq ď c ´2 |σi ´ Hσi | 2 0 ` |σi ´ Hσi |0| ´1 pσi ´ Hσiq|0 ď c ´2 ` c ´1 . 这说明 G 的确为紧算子. 现在, 任给 σ P ApLq, 有 Gσ “ ´1 pσ ´ Hσq “ σ ´ Hσ, 即 σ “ Hσ ` Gσ. 这说明我们有正交分解 ApLq “ HpLq ‘ GApLq. 最后说明 G¯B “ ¯BG, Gϑ “ ϑG. 以前者为例, 注意到 ¯BHKpLq Ă HKpLq, GApLq Ă HKpLq, 因此有 G¯Bσ “ G¯BpHσ ` Gσq “ G¯B Gσ “ G¯BGσ “ ¯BGσ. 下面我们来给出引理 5.6.3, 5.6.4, 5.6.5 的证明. 这些证明依赖于一个光滑化 的算子. 我们有