《黎曼曲面》课程教学资源（讲义）第五章 曲面的复几何

第五章曲面的复几何前一章里，我们介绍了几种上同调.本章我们将引入Hermite度量并讨论黎曼曲面及全纯线丛的几何性质，内容包括线丛上第一陈类，Hodge定理及Serre对偶定理和消没定理，并给出Riemann-Roch公式的另外一个证明$5.1Hermite度量首先回顾一下Hermite内积的概念.设V为复线性空间，映射<>：V×V-C如果满足条件(1)(Ai +μU2,w)=X(Ui,w)+μ<U2,w),V 入,μE C, Ui,V2,WEV;(2) u,w)=(w,v)(3)<u,)≥0,等号成立当且仅当=0.则称之为V上的一个Hermite内积.此时，在V的对偶空间V*上有自然诱导的Hermite内积.定义5.1.1.设M为黎曼曲面，Th(M）为其全纯切丛.如果在每个全纯切空间TphM上都指定一个Hermite内积h(p)=<.>p，并且任给全纯切丛的两个光滑截面Xi,X2,M上的函数h(X1,X2),P-(Xi(p),X2(p)>p为光滑函数，则称h为M(或Th(M))上的一个Hermite度量设h为Hermite度量，U为任意局部坐标邻域，坐标函数为=a+V-Iya记ha=h(，）则ha为Ua上正的光滑函数，在Uα上我们把h写为h=hadz@dza.(5.1)如果向量场X,Y分别有局部表示X=aa，Y=ba，则h(X,Y）=aahaba.特别地，如果UanU≠,则在UanU上，有aahg=h(azgOzpozaazaa= h(ozp 0 0zp 0zaozap.ha.(5.2)laze反之，如果存在一族正的光滑函数（h。）满足条件（5.2)，则利用（5.1）就定义了M上一个Hermite度量.我们把（ha）称为Hermite度量h的局部表示给定Hermite度量h及其局部表示，我们在U上定义（1,1）形式如下2a=Vl,hadzadza=hadaAdya2155

第五章 曲面的复几何 前一章里, 我们介绍了几种上同调. 本章我们将引入 Hermite 度量并讨论黎曼 曲面及全纯线丛的几何性质, 内容包括线丛上第一陈类, Hodge 定理及 Serre 对偶 定理和消没定理, 并给出 Riemann-Roch 公式的另外一个证明. §5.1 Hermite 度量 首先回顾一下 Hermite 内积的概念. 设 V 为复线性空间, 映射 x, y : V ˆV Ñ C 如果满足条件 p1q xλv1 ` µv2, wy “ λxv1, wy ` µxv2, wy, @ λ, µ P C, v1, v2, w P V ; p2q xv, wy “ xw, vy; p3q xv, vy ě 0, 等号成立当且仅当 v “ 0. 则称之为 V 上的一个 Hermite 内积. 此时, 在 V 的对偶空间 V ˚ 上有自然诱导的 Hermite 内积. 定义 5.1.1. 设 M 为黎曼曲面, ThpMq 为其全纯切丛. 如果在每个全纯切空 间 TphM 上都指定一个 Hermite 内积 hppq “ x, yp, 并且任给全纯切丛的两个光滑 截面 X1, X2, M 上的函数 hpX1, X2q, p ÞÑ xX1ppq, X2ppqyp 为光滑函数, 则称 h 为 M(或 ThpMq) 上的一个 Hermite 度量. 设 h 为 Hermite 度量, Uα 为任意局部坐标邻域, 坐标函数为 zα “ xα` ? ´1 yα. 记 hα “ hp B Bzα , B Bzα q 则 hα 为 Uα 上正的光滑函数, 在 Uα 上我们把 h 写为 h “ hαdzα b dz¯α. (5.1) 如果向量场 X, Y 分别有局部表示 X “ aα B Bzα , Y “ bα B Bzα , 则 hpX, Y q “ aαhα ¯bα. 特别地, 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则在 Uα X Uβ 上, 有 hβ “ hp B Bzβ , B Bzβ q “ hp Bzα Bzβ B Bzα , Bzα Bzβ B Bzα q “ |Bzα Bzβ | 2 ¨ hα. (5.2) 反之, 如果存在一族正的光滑函数 thαu 满足条件 (5.2), 则利用 (5.1) 就定义了 M 上一个 Hermite 度量. 我们把 thαu 称为 Hermite 度量 h 的局部表示. 给定 Hermite 度量 h 及其局部表示, 我们在 Uα 上定义 p1, 1q 形式如下 Ωα “ ? ´1 2 hαdzα ^ dz¯α “ hαdxα ^ dyα. 155

第五章曲面的复几何156由（5.2）易见，在UanU3上2a=2,因此2）定义了M上一个整体（1,1)形式，记为，这是一个处处非零的实的2形式，称为M关于度量h的体积（面积)形式.此时Vol(M,h)=Jr>0,称为M关于度量h的体积(面积)下面我们来考虑另一个重要的（1,1）形式.在U上令α=aalogha：在U。nUg上，利用（5.2）得0g=0a1oghg=81og(l%12.ha)aza + 0alog OzpOza= 0alog ha + 0olog azp=alogha这说明(e。也定义了M上一个整体的(1,1)形式，记为,称为M关于度量h的曲率形式.因为体积形式处处非零，故e可表示为K=52V-1其中K为M上的实值光滑函数.称为M关于度量h的Gauss曲率，在U。上可写为22210oghaK=-haazaza通过单位分解和局部表示我们容易知道，黎曼曲面上总是存在许多的Hermite度量.令人惊奇的是，对于紧致黎曼曲面，任给一个Hermite度量，我们总有如下积分公式定理5.1.1（Gauss-Bonnet).设h为紧致黎曼曲面M上任一Hermite度量，则1( Kn=x(M).2元证明.在M上任取非零亚纯微分w，记w的零点和极点全体为《pi).在局部坐标邻域Uα内，w有局部表示w=fadza.当UanUの时，fo=fa，因此[fe[2 = Ifa]2 a2由（5.2）及上式得Ifa12h=1=1fa12h-1.这说明存在M-(pi)上定义的光滑函数f，使得在每个U上均有Ifa?= f.ha(5.3)

156 第五章 曲面的复几何 由 (5.2) 易见, 在 Uα X Uβ 上 Ωα “ Ωβ, 因此 tΩαu 定义了 M 上一个整体 p1, 1q 形 式, 记为 Ω, 这是一个处处非零的实的 2 形式, 称为 M 关于度量 h 的体积 (面积) 形式. 此时 VolpM, hq “ ş M Ω ą 0, 称为 M 关于度量 h 的体积 (面积). 下面我们来考虑另一个重要的 p1, 1q 形式. 在 Uα 上令 Θα “ ¯BB log hα. 在 Uα X Uβ 上, 利用 (5.2) 得 Θβ “ ¯BB log hβ “ ¯BB logp|Bzα Bzβ | 2 ¨ hαq “ ¯BB log hα ` ¯BB log Bzα Bzβ ` ¯BB log Bzα Bzβ “ ¯BB log hα. 这说明 tΘαu 也定义了 M 上一个整体的 p1, 1q 形式, 记为 Θ, 称为 M 关于度量 h 的曲率形式. 因为体积形式处处非零, 故 Θ 可表示为 Θ “ K ? ´1 Ω. 其中 K 为 M 上的实值光滑函数, 称为 M 关于度量 h 的 Gauss 曲率, 在 Uα 上可 写为 K “ ´ 2 hα B 2 log hα BzαBz¯α . 通过单位分解和局部表示我们容易知道, 黎曼曲面上总是存在许多的 Hermite 度 量. 令人惊奇的是, 对于紧致黎曼曲面, 任给一个 Hermite 度量, 我们总有如下积分 公式 定理 5.1.1 (Gauss-Bonnet). 设 h 为紧致黎曼曲面 M 上任一 Hermite 度量, 则 1 2π ż M KΩ “ χpMq. 证明. 在 M 上任取非零亚纯微分 ω, 记 ω 的零点和极点全体为 tpiu. 在局部 坐标邻域 Uα 内, ω 有局部表示 ω “ fαdzα. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, fβ “ fα ¨ Bzα Bzβ , 因此 |fβ| 2 “ |fα| 2 ¨ |Bzα Bzβ | 2 . 由 (5.2) 及上式得 |fβ| 2h ´1 β “ |fα| 2h ´1 α . 这说明存在 M ´ tpiu 上定义的光滑函数 f, 使得在每个 Uα 上均有 |fα| 2 “ f ¨ hα. (5.3)

$5.1Hermite度量157现在我们在每个点pi处选取一个坐标圆盘Di，Φi：D;→C为坐标映射，Φi(pi）=0,;(D)=D.我们可以假设这些坐标圆盘互不相交.对0<r<1，令D;(r)= (pe D;/b;(p)/ <r)我们有V-C1eK2=2元JM2元JMV-1eJ-()V-1= limaalogha02元JM-uD:(r)V-1= lim(aa log lfa - aalog f)102元JM-uDi(r)V-1-aalog f o2元JM-UD:(r)V-1= lim-dalog f2元r0JM-D:(r)V-1-2lmalogf2元JaD:(r)V-1Zlima(log fi + log f: - log hi)2元0JaD(r)V-1-Z limalog fi.2元0JaD:(r)其中，w在D,中的局部表示为w=fidzi，h在D,中的局部表示为h=h;dzi?dzi.亚纯函数fi在D;中可以表示为fi=zn·gi，其中gi为pi附近处处非零的全纯函数.此时limalog fi = limalogzn-2元V-Inz0JaD:(r)0JaD:(r)这说明1K2=V-12元V-1ni = -ni = -d(w) = 2- 2g = x(M).2元起2元i口其中9为M的亏格设Φ：M→N为黎曼曲面之间非退化的全纯映射.如果h为N上的Hermite度量，则在M上可以如下定义一个Hermite度量*h：0*h(X,Y)=h(ΦX,0Y)

§5.1 Hermite 度量 157 现在我们在每个点 pi 处选取一个坐标圆盘 Di , ϕi : Di Ñ C 为坐标映射, ϕippiq “ 0, ϕipDiq “ D. 我们可以假设这些坐标圆盘互不相交. 对 0 ă r ă 1, 令 Diprq “ tp P Di ˇ ˇ |ϕippq| ă ru. 我们有 1 2π ż M KΩ “ ? ´1 2π ż M Θ “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq Θ “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq ¯BB log hα “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq p ¯BB log |fα| 2 ´ ¯BB log fq “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq ´¯BB log f “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq ´dB log f “ ÿ i limrÑ0 ? ´1 2π ż BDiprq B log f “ ÿ i limrÑ0 ? ´1 2π ż BDiprq Bplog fi ` log ¯fi ´ log hiq “ ÿ i limrÑ0 ? ´1 2π ż BDiprq B log fi . 其中, ω 在 Di 中的局部表示为 ω “ fidzi , h 在 Di 中的局部表示为 h “ hidzi b dz¯i . 亚纯函数 fi 在 Di 中可以表示为 fi “ z ni i ¨ gi , 其中 gi 为 pi 附近处处非零的全纯 函数. 此时 limrÑ0 ż BDiprq B log fi “ limrÑ0 ż BDiprq B log z ni i “ 2π ? ´1 ni . 这说明 1 2π ż M KΩ “ ÿ i ? ´1 2π 2π ? ´1 ni “ ´ÿ i ni “ ´dppωqq “ 2 ´ 2g “ χpMq. 其中 g 为 M 的亏格. 设 ϕ : M Ñ N 为黎曼曲面之间非退化的全纯映射, 如果 h 为 N 上的 Hermite 度量, 则在 M 上可以如下定义一个 Hermite 度量 ϕ ˚h: ϕ ˚hpX, Y q “ hpϕ˚X, ϕ˚Y q.

158第五章曲面的复几何其中中为切映射，Φ*h称为拉回度量.如果h为M上Hermite度量，Φ为双全纯映射，且h'=*h，则称为全纯等距.黎曼曲面之间的全纯复迭映射是处处非退化的，因此可以把黎曼曲面上的Hermite度量通过复迭映射拉回到复迭空间上；反之，给定复迭空间上的一个Hermite度量，如果复迭变换都是该度量的全纯等距则这个度量可以“下降”为曲面上的Hermite度量，即此度量拉回后就是复送空间上给定的Hermite度量.给定黎曼曲面M上的Hermite度量h，在每一点pEM的切空间T,M上都有一个诱导内积9p:9p可如下定义：设=+V-Iα为p附近的局部复坐标，h有局部表示h=hadza?dz.则规定aaaaaa)=0, gp(raOra)= ha, 9p(ya Oya") = hagparaCya由（5.2）易见这样定义的内积9，和局部坐标的选取无关，在坐标邻域内我们可以记为ga=ha(dradra+dyadya)9a实际上组成M上的一个二阶正定对称张量g，称为由Hermite度量h诱导的Riemann度量。我们也可以表示为g=Reh(h的实部)。有了Riemann度量，我们可以定义曲线的长度.设g：I→M为黎曼曲面M上的连续可微曲线，令Vg(o,0)ds,L(o) =称为α的长度，其中是α的切向量场.任给P,qeM，令d(p,q)=inf(L(o)α为连接p和q的曲线)称为p,q的距离.不难证明，这样定义的映射d()：M×M→R+的确为M上的一个距离，即(1)d(p,g)≥0,等号成立当且仅当p=q(2) d(p,q) = d(q,p);(3) d(p,q) ≤ d(p,r) + d(r,q), V r E M如果为全纯等距,则显然d(p,q)=d((p),d(g)).如果是连接p,q的曲线，且L(o)=d(p,q),，则称α为连接p,q的最短测地线.如果光滑曲线在其每一点附近均为最短测地线，则称之为测地线如果作为距离空间（M,d）是完备的，则称度量g或h为完备度量.度量的完备性有一些等价的描述，例如，任意固定一点p，对p>0，令B(p) = (qE M Id(q,p)<p)

158 第五章 曲面的复几何 其中 ϕ˚ 为切映射. ϕ ˚h 称为拉回度量. 如果 h 1 为 M 上 Hermite 度量, ϕ 为双全 纯映射, 且 h 1 “ ϕ ˚h, 则称 ϕ 为全纯等距. 黎曼曲面之间的全纯复迭映射是处处非 退化的, 因此可以把黎曼曲面上的 Hermite 度量通过复迭映射拉回到复迭空间上; 反之, 给定复迭空间上的一个 Hermite 度量, 如果复迭变换都是该度量的全纯等距, 则这个度量可以 “下降” 为曲面上的 Hermite 度量, 即此度量拉回后就是复迭空间 上给定的 Hermite 度量. 给定黎曼曲面 M 上的 Hermite 度量 h, 在每一点 p P M 的切空间 TpM 上都 有一个诱导内积 gp. gp 可如下定义: 设 zα “ xα ` ? ´1 yα 为 p 附近的局部复坐 标, h 有局部表示 h “ hαdzα b dz¯α. 则规定 gpp B Bxα , B Byα q “ 0, gpp B Bxα , B Bxα q “ hα, gpp B Byα , B Byα q “ hα. 由 (5.2) 易见这样定义的内积 gp 和局部坐标的选取无关, 在坐标邻域内我们可以 记为 gα “ hαpdxα b dxα ` dyα b dyαq. gα 实际上组成 M 上的一个二阶正定对称张量 g, 称为由 Hermite 度量 h 诱导的 Riemann 度量. 我们也可以表示为 g “ Reh (h 的实部). 有了 Riemann 度量, 我们可以定义曲线的长度. 设 σ : I Ñ M 为黎曼曲面 M 上的连续可微曲线, 令 Lpσq “ ż I a gpσ, ˙ σ˙qds, 称为 σ 的长度, 其中 σ˙ 是 σ 的切向量场. 任给 p, q P M, 令 dpp, qq “ inftLpσq | σ 为连接 p 和 q 的曲线u, 称为 p, q 的距离. 不难证明, 这样定义的映射 dp¨, ¨q : M ˆ M Ñ R ` 的确为 M 上的 一个距离, 即 p1q dpp, qq ě 0, 等号成立当且仅当 p “ q; p2q dpp, qq “ dpq, pq; p3q dpp, qq ď dpp, rq ` dpr, qq, @ r P M. 如果 ϕ 为全纯等距, 则显然 dpp, qq “ dpϕppq, ϕpqqq. 如果 σ 是连接 p, q 的曲线, 且 Lpσq “ dpp, qq, 则称 σ 为连接 p, q 的最短测地线. 如果光滑曲线在其每一点附近均 为最短测地线, 则称之为测地线. 如果作为距离空间 pM, dq 是完备的, 则称度量 g 或 h 为完备度量. 度量的完 备性有一些等价的描述, 例如, 任意固定一点 p, 对 ρ ą 0, 令 Bρppq “ tq P M | dpq, pq ă ρu

$5.1Hermite度量159称为以p为半径,p为中心的测地球，其闭包B(p)=(gEM|d(q,p)≤p)称为闭测地球.度量是完备的当且仅当每一个闭测地球均为紧致集合，显然，紧致黎曼曲面上的度量都是完备的.下面我们来研究几个具体的例子例5.1.1.复平面C设z=+V-1y为C上的标准复坐标，则h=dzdz显然为C上的Hermite度量.其曲率K三0.曲率为零的度量一般称为平坦度量.h诱导的Riemann度量为g=dr?da+dy?dy，在每一点的切空间上，这个Riemann度量定义的内积和C中的欧氏内积完全相同.下面我们说明，9诱导的距离和C中的欧氏距离也完全相同.首先注意到,C的全纯自同构(2)=az+b为h的全纯等距当且仅当a=eii=V-I,eR.即C中的平移和旋转都是全纯等距。因此，为了说明d(p,q)=p-ql,我们可以假设p,qR.设:[0,1]→C是连接p,q的曲线，(t)=(t)+V-1y(t).由曲线长度的定义，有L(o) =Vr(t)2 + (g(t) dt ≥Ir'(t)Id≥ 1 2 (t)dt| = [r(1) - r(0)[ = [g - pl.这说明d(p,)≥p-另一方面，连接p,q的直线段长度显然为lp-l，因此d(p,g)=[p-ql.这也说明直线为C在度量g下的测地线，并且由刚才的证明可以看出测地线也只能为直线例5.1.2.黎曼球面S.在C上考虑这样的Hermite度量h=4[1+z/]-?dz?dz.当更换坐标函数2=w-1时，h=4[1+ [2]-2d2 d2=4[1+ [0-2]-2Xw2W2=4[1+w/21-2dw?dm因此，h实际上可以定义在S=Cu（o上成为Hermite度量，其曲率形式计算如下： = a1og 4[1 + [2]"]-2 = 2[1 +[2]]-2dz ^ dz.因此，这个度量的曲率K=1.例5.1.3.黎曼环面

§5.1 Hermite 度量 159 称为以 ρ 为半径, p 为中心的测地球, 其闭包 Bρppq “ tq P M | dpq, pq ď ρu 称为闭 测地球. 度量是完备的当且仅当每一个闭测地球均为紧致集合. 显然, 紧致黎曼曲 面上的度量都是完备的. 下面我们来研究几个具体的例子. 例 5.1.1. 复平面 C. 设 z “ x` ? ´1 y 为 C 上的标准复坐标, 则 h “ dz bdz¯ 显然为 C 上的 Hermite 度量, 其曲率 K ” 0. 曲率为零的度量一般称为平坦度量. h 诱导的 Riemann 度量 为 g “ dx b dx ` dy b dy, 在每一点的切空间上, 这个 Riemann 度量定义的内积和 C 中的欧氏内积完全相同. 下面我们说明, g 诱导的距离和 C 中的欧氏距离也完全 相同. 首先注意到, C 的全纯自同构 ϕpzq “ az ` b 为 h 的全纯等距当且仅当 a “ e iθ , i “ ? ´1, θ P R. 即 C 中的平移和旋转都是全纯等距. 因此, 为了说明 dpp, qq “ |p ´ q|, 我们可以假设 p, q P R. 设 σ : r0, 1s Ñ C 是连接 p, q 的曲线, σptq “ xptq ` ? ´1 yptq. 由曲线长度的定义, 有 Lpσq “ ż 1 0 a px 1ptqq2 ` py 1ptqq2 dt ě ż 1 0 |x 1 ptq| dt ě | ż 1 0 x 1 ptqdt| “ |xp1q ´ xp0q| “ |q ´ p|. 这说明 dpp, qq ě |p ´ q|. 另一方面, 连接 p, q 的直线段长度显然为 |p ´ q|, 因此 dpp, qq “ |p ´ q|. 这也说明直线为 C 在度量 g 下的测地线, 并且由刚才的证明可以 看出测地线也只能为直线. 例 5.1.2. 黎曼球面 S. 在 C 上考虑这样的 Hermite 度量 h “ 4r1 ` |z| 2 s ´2dz b dz¯. 当更换坐标函数 z “ w ´1 时, h “ 4r1 ` |z| 2 s ´2 dz b dz¯ “ 4r1 ` |w| ´2 s ´2 ´dw w2 b ´dw¯ w¯ 2 “ 4r1 ` |w| 2 s ´2 dw b dw. ¯ 因此, h 实际上可以定义在 S “ C Y t8u 上成为 Hermite 度量, 其曲率形式计算如 下: Θ “ ¯BB log 4r1 ` |z| 2 s ´2 “ 2r1 ` |z| 2 s ´2 dz ^ dz. ¯ 因此, 这个度量的曲率 K ” 1. 例 5.1.3. 黎曼环面