《黎曼曲面》课程教学资源（讲义）第四章 曲面与上同调

第四章曲面与上同调在前一章，我们利用Hodge定理，用较为初等的方法证明了重要的RiemannRoch公式.本章将引入曲面上的全纯线丛，层及层的上同调等概念，并把Riemann-Roch公式重新解释为一个指标公式84.1全纯线丛的定义在第二章第二节介绍切向量场和微分形式的时候我们其实已经遇到了丛的概念，现在我们稍加详细地予以研究.首先，从先前的例子出发，我们回顾一下切丛，设M为黎曼曲面，任给pEM，P处的切空间是一个实的2维向量空间，其复化T,(M)C是一个复2维向量空间，并且有分解Tp(M)C=TphM④TphM如果=+V-1y为p附近的局部复坐标，则Tp(M)=span(lp,lp)，而TphM=span(量p),TphM=span是lp).令ThM=UTphM在ThM上定义拓PEM扑如下：如果U为局部坐标邻域，定义映射b:UTphM-UxCPEUXpeTphM -(p,a)其中，a是Xp的局部表示Xp=alp的系数。我们要求为同胚，而ThM的拓扑就是由(U.TphM中开集|UCM)这些开集所生成。在这个拓扑之下，投影元：ThM→M，元(Xp）=p为连续的开映射，且显然元-1(U)=UTphM.不只如此，PEU拓扑空间TM还具有其他好的性质：·ThM为2维复流形.事实上，设U)为M的坐标覆盖，zα=α+V-1yα为U。上的坐标函数，则元-1(U）为ThM的开覆盖，并且（za,id)为元-1(U)上的坐标映射.当UanUs≠の时，转换映射形如azp).b), ae za(UanU),beC.(z,id)ogo-lo(za,id)-1(a,b) =(zpozl,aza这是全纯映射.因此ThM为复流形，为双全纯映射·投影元：T,M-→M为全纯的满射.这从上一条性质立即可以得到·考虑映射gβa：UanUg→C*，gBa(p）=lpzB.这是全纯函数，并且满足关系9a =1; 98α-ga 9=1.121

第四章 曲面与上同调 在前一章, 我们利用 Hodge 定理, 用较为初等的方法证明了重要的 Riemann￾Roch 公式. 本章将引入曲面上的全纯线丛, 层及层的上同调等概念, 并把 Riemann￾Roch 公式重新解释为一个指标公式. §4.1 全纯线丛的定义 在第二章第二节介绍切向量场和微分形式的时候我们其实已经遇到了丛的概 念. 现在我们稍加详细地予以研究. 首先, 从先前的例子出发, 我们回顾一下切丛. 设 M 为黎曼曲面, 任给 p P M, p 处的切空间是一个实的 2 维向量空间, 其复 化 TppMq b C 是一个复 2 维向量空间, 并且有分解 TppMq b C “ TphM ‘ TphM. 如果 z “ x ` ? ´1 y 为 p 附近的局部复坐标, 则 TppMq “ spant B Bx |p, B By |pu, 而 TphM “ spant B Bz |pu, TphM “ spant B Bz¯ |pu. 令 ThM “ Ť pPM TphM, 在 ThM 上定义拓 扑如下: 如果 U 为局部坐标邻域, 定义映射 ψ : ď pPU TphM Ñ U ˆ C Xp P TphM ÞÑ pp, aq 其中, a 是 Xp 的局部表示 Xp “ a B Bz |p 的系数. 我们要求 ψ 为同胚, 而 ThM 的 拓扑就是由 t Ť pPU TphM 中开集|U Ă Mu 这些开集所生成. 在这个拓扑之下, 投影 π : ThM Ñ M, πpXpq “ p 为连续的开映射, 且显然 π ´1 pUq “ Ť pPU TphM. 不只如此, 拓扑空间 ThM 还具有其他好的性质: • ThM 为 2 维复流形. 事实上, 设 tUαu 为 M 的坐标覆盖, zα “ xα ` ? ´1 yα 为 Uα 上的坐标函数, 则 π ´1 pUαq 为 ThM 的开覆盖, 并且 pzα, idq ˝ψα 为 π ´1 pUαq 上的坐标映射. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 转换映射形如 pzβ, idq˝ψβ ˝ψ ´1 α ˝pzα, idq ´1 pa, bq “ pzβ ˝z ´1 α ,p B Bzα zβq¨bq, a P zαpUαXUβq, b P C. 这是全纯映射. 因此 ThM 为复流形, ψα 为双全纯映射. • 投影 π : ThM Ñ M 为全纯的满射. 这从上一条性质立即可以得到. • 考虑映射 gβα : Uα X Uβ Ñ C ˚, gβαppq “ B Bzα |pzβ. 这是全纯函数, 并且满足关 系 gαα “ 1; gβα ¨ gαγ ¨ gγβ “ 1. 121

122第四章曲面与上同调我们把ThM称为M的全纯切丛，α称为它的局部平凡化，9Bα称为连接函数一般地，我们可以如下定义黎曼曲面上的全纯线丛，定义4.1.1（全纯线丛).设M为黎曼曲面，L为2维复流形，元：L→M为全纯满射。如果存在M的开覆盖[Ua)以及双全纯映射中：元-1(U。）→U×C满足条件(1) a(-(p) = (p) × C, V pEUα.(2)当UanUg时，存在全纯函数gBa:UanUg→C*，使得po'(p,a)=(p,ga(p)a),VpeUanUp,aeC则称L为M上的全纯线丛，元为丛投影.如同全纯切丛那样，称为局部平凡化，9βα为连接函数。我们还称元-1(p）为点p上的纤维.由定义中的(1)，任何纤维都和C同胚；进一步，由(2),纤维元-1(p)中还可自然地定义复线性结构，使之线性同构于C.有时也用L，表示纤维元-1(p)，在全纯线丛的定义中，连接函数处于非常重要的位置。直观地看，一个全纯线丛就是由这些连接函数把若干乘积空间“粘结”在一起形成的，在“粘结”的过程中，要始终保持每一根纤维的线性性。我们对这个过程用数学的语言描述如下首先，注意到连接函数满足下面的性质：(4.1)gaa=1, VUa; gpagag=1, Uan UnU,O.特别地，9aβ=（gBa）-1.反之，如果有这样一族全纯函数（9a3）满足条件（4.1)，则定义商空间L = II(Uα × C)/ ~,其中，等价关系~定义如下：任给(p,a)eU&×C,(q,b)eUβ×C,规定(p,a)~(q,b)p=q, b=gβa(p)aL的拓扑由商拓扑给出.用[p,al表示(p,a）的等价类，定义投影π：L→M为([p,al)=p.则不难验证L在投影元之下成为M上的全纯线丛.例4.1.1.平凡线丛令L=M×C，元：L→M是向第一个分量的投影.则显然，L为M上的全纯线丛，其平凡化为恒同映射，连接函数恒为1.例4.1.2.全纯余切丛

122 第四章 曲面与上同调 我们把 ThM 称为 M 的全纯切丛, ψα 称为它的局部平凡化, gβα 称为连接函数. 一般地, 我们可以如下定义黎曼曲面上的全纯线丛. 定义 4.1.1 (全纯线丛). 设 M 为黎曼曲面, L 为 2 维复流形, π : L Ñ M 为 全纯满射. 如果存在 M 的开覆盖 tUαu 以及双全纯映射 ψα : π ´1 pUαq Ñ Uα ˆ C 满足条件 p1q ψαpπ ´1 ppqq “ tpu ˆ C, @ p P Uα. p2q 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 存在全纯函数 gβα : Uα X Uβ Ñ C ˚, 使得 ψβ ˝ ψ ´1 α pp, aq “ pp, gβαppq ¨ aq, @ p P Uα X Uβ, a P C. 则称 L 为 M 上的全纯线丛, π 为丛投影. 如同全纯切丛那样, 称 ψα 为局部平凡化, gβα 为连接函数. 我们还称 π ´1 ppq 为 点 p 上的纤维. 由定义中的 p1q, 任何纤维都和 C 同胚; 进一步, 由 p2q, 纤维 π ´1 ppq 中还可自然地定义复线性结构, 使之线性同构于 C. 有时也用 Lp 表示纤维 π ´1 ppq. 在全纯线丛的定义中, 连接函数处于非常重要的位置. 直观地看, 一个全纯线 丛就是由这些连接函数把若干乘积空间 “粘结” 在一起形成的, 在 “粘结” 的过程 中, 要始终保持每一根纤维的线性性. 我们对这个过程用数学的语言描述如下. 首 先, 注意到连接函数满足下面的性质: gαα “ 1, @ Uα; gβα ¨ gαγ ¨ gγβ “ 1, @ Uα X Uβ X Uγ ‰ H. (4.1) 特别地, gαβ “ pgβαq ´1 . 反之, 如果有这样一族全纯函数 tgαβu 满足条件 (4.1), 则 定义商空间 L “ ž α pUα ˆ Cq{ ∼, 其中, 等价关系 ∼ 定义如下: 任给 pp, aq P Uα ˆ C, pq, bq P Uβ ˆ C, 规定 pp, aq ∼ pq, bq ðñ p “ q, b “ gβαppqa. L 的拓扑由商拓扑给出. 用 rp, as 表示 pp, aq 的等价类, 定义投影 π : L Ñ M 为 πprp, asq “ p. 则不难验证 L 在投影 π 之下成为 M 上的全纯线丛. 例 4.1.1. 平凡线丛. 令 L “ M ˆ C, π : L Ñ M 是向第一个分量的投影. 则显然, L 为 M 上的全纯 线丛, 其平凡化为恒同映射, 连接函数恒为 1. 例 4.1.2. 全纯余切丛

84.1全纯线丛的定义123设M为黎曼曲面，和全纯切丛完全类似，我们可以定义全纯余切丛．任给PEM，余切空间T*M复化后有直和分解TMC=ThMThM如果z=+V-Iy是p附近的局部复坐标，则ThM=span(dzlp).令TM=BMTmM，如同切丛那样，我们可以在T#M定义复结构使之成为2维复流形.定义投影元：TM→M为(p）=wpeThM.如果U为M的局部坐标邻域，则令U上的平凡化为: -1(U) →U × C, (wp) = (p,a).其中，a是wp的局部表示wp=adzp的系数.如果U。nUB≠の，则Cp (0) (() a)因此，连接函数ha:UnU→C*此时为hBa(p)=lpza,VpeUnUp例4.1.3.CPl上的全纯线丛，令E=(([2],w)eCPl×C?[3)eC,使得 w=>·2],E是乘积流形 CPl×C2的子集，它的拓扑为诱导的子拓扑，令π:E→CPl([2],w)→ [2].则元为连续满射考虑CP1的标准坐标覆盖Uo=([z0,z]Iz0≠0)，Ui=[2021]21≠0定义映射o:元-1(Uo)-→Uo×C([2],w)→ ([z], wo),其中w=(wo,wi)eC.同理，定义映射:-1(U) → U×C([2],w) → ([2], w1),不难验证，o和均为同胚。并且有bo'([2],a) = ([], .a),[] e Uin Uo, a e C.20由此即知，E是2为复流形，并且在投影π：E→CPl之下成为CP1上的全纯线丛.此全纯线丛的连接函数为910([z])=21/20,901([z])=20/21

§4.1 全纯线丛的定义 123 设 M 为黎曼曲面, 和全纯切丛完全类似, 我们可以定义全纯余切丛. 任给 p P M, 余切空间 T ˚ p M 复化后有直和分解 T ˚ p M b C “ T ˚ phM ‘ T ˚ phM. 如果 z “ x ` ? ´1 y 是 p 附近的局部复坐标, 则 T ˚ phM “ spantdz|pu. 令 T ˚ h M “ Y pPM T ˚ phM, 如同切丛那样, 我们可以在 T ˚ h M 定义复结构使之成为 2 维复流形. 定 义投影 π : T ˚ h M Ñ M 为 πpωpq “ p, @ ωp P T ˚ phM. 如果 U 为 M 的局部坐标邻域, 则令 U 上的平凡化为 ψ : π ´1 pUq Ñ U ˆ C, ψpωpq “ pp, aq. 其中, a 是 ωp 的局部表示 ωp “ adz|p 的系数. 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则 ψβ ˝ ψ ´1 α pp, aq “ pp,p B Bzβ |pzαq ¨ aq. 因此, 连接函数 hβα : Uα X Uβ Ñ C ˚ 此时为 hβαppq “ B Bzβ |pzα, @ p P Uα X Uβ. 例 4.1.3. CP 1 上的全纯线丛. 令 E “ tprzs, wq P CP 1 ˆ C 2 | Dλ P C, 使得 w “ λ ¨ zu. E 是乘积流形 CP 1 ˆ C 2 的子集, 它的拓扑为诱导的子拓扑. 令 π : E Ñ CP 1 przs, wq ÞÑ rzs. 则 π 为连续满射. 考虑 CP 1 的标准坐标覆盖 U0 “ trz0, z1s | z0 ‰ 0u, U1 “ trz0, z1s | z1 ‰ 0u. 定义映射 ψ0 : π ´1 pU0q Ñ U0 ˆ C przs, wq ÞÑ przs, w0q, 其中 w “ pw0, w1q P C. 同理, 定义映射 ψ1 : π ´1 pU1q Ñ U1 ˆ C przs, wq ÞÑ przs, w1q. 不难验证, ψ0 和 ψ1 均为同胚. 并且有 ψ1 ˝ ψ ´1 0 przs, aq “ przs, z1 z0 ¨ aq, rzs P U1 X U0, a P C. 由此即知, E 是 2 为复流形, 并且在投影 π : E Ñ CP 1 之下成为 CP 1 上的全纯线 丛. 此全纯线丛的连接函数为 g10przsq “ z1{z0, g01przsq “ z0{z1

124第四章曲面与上同调定义4.1.2（全纯截面).设L为黎曼曲面M上的全纯线丛，π：L→M为丛投影.如果连续映射s:M→L满足条件πos=id,即s(p)Eπ-1(p)，VpeM,则称s为丛L的一个截面：当s光滑时称为光滑截面，当s为全纯映射时称为全纯截面.全纯截面的全体记为Fr(L)，Tr(L）中有一个特殊的截面，它把任何一点p均映为π-1(p）中的零向量，称这个截面为零截面：由于纤维具有线性结构，因此截面空间h（L）也有自然的线性结构，即截面之间有加法和数乘运算，使之成为复向量空间。以后我们将看到，如果M为紧致黎曼曲面，则T(L）是有限维的复向量空间.例4.1.4.平凡线丛的截面，映射s：M→M×C为截面当且仅当s形如s(p) = (p, f(p),其中，：M→C为M上的连续函数.s为全纯截面当且仅当f为全纯函数.因此，截面实际上是函数的推广：例4.1.5.全纯切丛和全纯余切丛的截面，按照我们先前的定义，全纯切丛的截面就是切向量场，全纯余切丛的截面为余切向量场，即微分形式，特别地，全纯余切丛的全纯截面就是全纯微分，根据第四例，平凡丛上的截面等同于函数。由于任何线丛都是局部平凡的，因此我们可以把截面s表示为局部函数.具体来讲，如果U。为M的开覆盖，为对应的局部平凡化，则有(4.2)ba(s(p)) = (p, Sa(p)), VpeUα.其中，sa为Ua上的函数当UanUpの时，有(4.3)Sp(p)=ga(p)Sa(p),VpeUnUp其中，93α为全纯线丛的连接函数，我们把这一族函数{sa）称为截面s的局部表示反之，如果一组函数Sα满足条件（4.3)，则利用（4.2）就可以定义一个截面.这样做的好处是，我们可以定义全纯线丛的亚纯截面：定义4.1.3（亚纯截面).一组亚纯函数8a：Ua→S如果满足条件（4.3),则称为全纯线丛L上的一个亚纯截面，记为s=(s。].亚纯截面的全体用t(L)表示按照这个定义，黎曼曲面上的亚纯微分就是全纯余切丛的亚纯截面

124 第四章 曲面与上同调 定义 4.1.2 (全纯截面). 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛, π : L Ñ M 为丛 投影. 如果连续映射 s : M Ñ L 满足条件 π ˝ s “ id, 即 sppq P π ´1 ppq, @ p P M, 则 称 s 为丛 L 的一个截面. 当 s 光滑时称为光滑截面, 当 s 为全纯映射时称为全纯 截面. 全纯截面的全体记为 ΓhpLq, ΓhpLq 中有一个特殊的截面, 它把任何一点 p 均 映为 π ´1 ppq 中的零向量, 称这个截面为零截面. 由于纤维具有线性结构, 因此截面 空间 ΓhpLq 也有自然的线性结构, 即截面之间有加法和数乘运算, 使之成为复向量 空间. 以后我们将看到, 如果 M 为紧致黎曼曲面, 则 ΓhpLq 是有限维的复向量空 间. 例 4.1.4. 平凡线丛的截面. 映射 s : M Ñ M ˆ C 为截面当且仅当 s 形如 sppq “ pp, fppqq, 其中, f : M Ñ C 为 M 上的连续函数. s 为全纯截面当且仅当 f 为全纯函数. 因 此, 截面实际上是函数的推广. 例 4.1.5. 全纯切丛和全纯余切丛的截面. 按照我们先前的定义, 全纯切丛的截面就是切向量场, 全纯余切丛的截面为余 切向量场, 即微分形式. 特别地, 全纯余切丛的全纯截面就是全纯微分. 根据第四例, 平凡丛上的截面等同于函数. 由于任何线丛都是局部平凡的, 因 此我们可以把截面 s 表示为局部函数. 具体来讲, 如果 Uα 为 M 的开覆盖, ψα 为 对应的局部平凡化, 则有 ψαpsppqq “ pp, sαppqq, @ p P Uα. (4.2) 其中, sα 为 Uα 上的函数. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, 有 sβppq “ gβαppq ¨ sαppq, @ p P Uα X Uβ. (4.3) 其中, gβα 为全纯线丛的连接函数. 我们把这一族函数 tsαu 称为截面 s 的局部表 示. 反之, 如果一组函数 sα 满足条件 (4.3), 则利用 (4.2) 就可以定义一个截面. 这 样做的好处是, 我们可以定义全纯线丛的亚纯截面: 定义 4.1.3 (亚纯截面). 一组亚纯函数 sα : Uα Ñ S 如果满足条件 (4.3), 则称 为全纯线丛 L 上的一个亚纯截面, 记为 s “ tsαu. 亚纯截面的全体用 MpLq 表示. 按照这个定义, 黎曼曲面上的亚纯微分就是全纯余切丛的亚纯截面

84.1全纯线丛的定义125定义4.1.4（丛同态).设L1，L2分别为黎曼曲面M，N上的全纯线丛，T1，T2分别为丛投影.如果全纯映射对（F,f)：(L1，M）→(L2,M)满足条件π20F=fo元1,即F((p))2(f(p),VpeM,并且 F限制在每个纤维 -1(p)上均为线性同态，则称（FJ）为全纯线丛L1和L2之间的丛同态显然，丛同态（F,J）中的映射f完全由F决定.我们来看丛同态的一个例子设于：M→N为黎曼曲面之间的全纯映射，L为N上的全纯线丛，π为丛投影.令f*L=（（m,I)EM×Lf(m）=π(U)),f*L是乘积空间M×L的子拓扑空间不仅如此，它还具有丛的结构，事实上，令元，：f*L→M，元(m,1)=m.则元，为连续满射.设U为N中的开集，：元-1(U）→U×C为一个局部平凡化，则映射: (f-1(U)):→f-1(U)×C(m,I)-→ (m,πc(b()为同胚.其中，πc：U×C→C是向第二个分量的投影.如果a，分别为Ua，U上的平凡化，则有bpfoa)(m,a) = (m,9Ba(f(m))a),其中gBα为L的连接函数.这说明*L具有复结构，并且是M上的全纯线丛，其连接函数为hpa:f-1(UnU)→C*,hBa=gpaof.令F：f*L→L,F(m,I)=l,则（F,J）为全纯线丛f*L和L之间的丛同态.我们把f*L称为拉回丛.因为紧致黎曼曲面上存在非常多的亚纯函数，通过拉回映射把CP1上的全纯线丛拉回就得到了紧致黎曼曲面上许多的全纯线丛。为了区分全纯线丛，我们还要引入丛同构的概念定义4.1.5（丛同构).设(F,f）为全纯线丛L1,L2之间的丛同态，如果存在从Lz到L1的丛同态(G,g)，使得F,G为互逆的双全纯映射，f,g为互逆的双全纯映射，则称全纯线丛L1，L2同构.称（F,f)，(G,9)为丛同构.丛同构显然是一个等价关系.如果f：M→N为双全纯同构，则拉回丛f*L和L同构。如果（F,J)是全纯线丛Li和L之间的同构，考虑映射F"：L1→f*L2F'() = (i(1),F(), Vle L1.则（F,id）是全纯线丛L和f*L2之间的同构.由于这个原因，当黎曼曲面M上的两个全纯线丛同构时，我们可以假设丛同构在M上诱导的映射为恒同映射．以下如果不加说明，我们都做这样的假设.下面我们用连接函数来描述丛的同构设L1，L2为黎曼曲面M上的两个同构的全纯线丛，F：Li→L2为丛同构.我们注意到，丛Li和L2的局部平凡化开

§4.1 全纯线丛的定义 125 定义 4.1.4 (丛同态). 设 L1, L2 分别为黎曼曲面 M, N 上的全纯线丛, π1, π2 分别为丛投影. 如果全纯映射对 pF, fq : pL1, Mq Ñ pL2, Nq 满足条件 π2 ˝F “ f ˝π1, 即 Fpπ ´1 1 ppqq Ă π ´1 2 pfppqq, @ p P M, 并且 F 限制在每个纤维 π ´1 ppq 上均为线性 同态, 则称 pF, fq 为全纯线丛 L1 和 L2 之间的丛同态. 显然, 丛同态 pF, fq 中的映射 f 完全由 F 决定. 我们来看丛同态的一个例子. 设 f : M Ñ N 为黎曼曲面之间的全纯映射, L 为 N 上的全纯线丛, π 为丛投影. 令 f ˚L “ tpm, lq P M ˆ L| fpmq “ πplqu, f ˚L 是乘积空间 M ˆ L 的子拓扑空间. 不仅如此, 它还具有丛的结构. 事实上, 令 πf : f ˚L Ñ M, πf pm, lq “ m. 则 πf 为 连续满射. 设 U 为 N 中的开集, ψ : π ´1 pUq Ñ U ˆ C 为一个局部平凡化, 则映射 ψf : π ´1 f pf ´1 pUqq : Ñ f ´1 pUq ˆ C pm, lq ÞÑ pm, πCpψplqqq. 为同胚. 其中, πC : U ˆ C Ñ C 是向第二个分量的投影. 如果 ψα, ψβ 分别为 Uα, Uβ 上的平凡化, 则有 ψβf ˝ ψ ´1 αf pm, aq “ pm, gβαpfpmqq ¨ aq, 其中 gβα 为 L 的连接函数. 这说明 f ˚L 具有复结构, 并且是 M 上的全纯线丛, 其 连接函数为 hβα : f ´1 pUα X Uβq Ñ C ˚, hβα “ gβα ˝ f. 令 F : f ˚L Ñ L, Fpm, lq “ l, 则 pF, fq 为全纯线丛 f ˚L 和 L 之间的丛同态. 我们把 f ˚L 称为拉回丛. 因为紧致 黎曼曲面上存在非常多的亚纯函数, 通过拉回映射把 CP 1 上的全纯线丛拉回就得 到了紧致黎曼曲面上许多的全纯线丛. 为了区分全纯线丛, 我们还要引入丛同构的 概念. 定义 4.1.5 (丛同构). 设 pF, fq 为全纯线丛 L1, L2 之间的丛同态, 如果存在 从 L2 到 L1 的丛同态 pG, gq, 使得 F, G 为互逆的双全纯映射, f, g 为互逆的双全 纯映射, 则称全纯线丛 L1, L2 同构. 称 pF, fq, pG, gq 为丛同构. 丛同构显然是一个等价关系. 如果 f : M Ñ N 为双全纯同构, 则拉回丛 f ˚L 和 L 同构. 如果 pF, fq 是全纯线丛 L1 和 L2 之间的同构, 考虑映射 F 1 : L1 Ñ f ˚L2: F 1 pl1q “ pπ1pl1q, Fpl1qq, @ l1 P L1. 则 pF 1 , idq 是全纯线丛 L1 和 f ˚L2 之间的同构. 由于这个原因, 当黎曼曲面 M 上 的两个全纯线丛同构时, 我们可以假设丛同构在 M 上诱导的映射为恒同映射. 以 下如果不加说明, 我们都做这样的假设. 下面我们用连接函数来描述丛的同构. 设 L1, L2 为黎曼曲面 M 上的两个同 构的全纯线丛, F : L1 Ñ L2 为丛同构. 我们注意到, 丛 L1 和 L2 的局部平凡化开