y所生成的空间进行。这样兰，兰就在是，是的复线性dzdadxdy组合所成的空间中，同样dz，亦就在dx，dy的复线性组合所成dd的空间中，现在扩充dx、4y运算使在上是复线性的，dydx亦即对任意的，b,，EC&t(adx+bdy)dydx+aedxbed则有0同样，可以用复线性扩充的办法，使外微分运算在复域C上进行．无疑有V-1drAdy-dzAdz.2在R上的复值外微分形式只有1次形式与2次形式。复值1次形式就是形为pdz十gd的形式，其中和是R上的C复值函数．当90，就称其为（1，0）型1次形式；一0，就称其为（0，1）型1次形式。R上的复值2次形式只有pdz^d元，是R上的C"复值函数，我们称pd^炫为（1，1）型形式此外，外微分运算d也可以扩充为对C线性的。即对任一R上的复值函数，及任一复数aEC，有d（af）=adf.今引进记号O-d.ddza-dadda.12
则有如下等式；（1）若f：R→C是复值可微分函数，则f - d + d - of + f.dadz(2）若dz→g，则d+e我们再定义：Sw-OgAdzwApAdz.因此可立得：d - Qw + Ju.电（1）与（2）得恒等式：4+0（3）将R看成C时，复值函数f是全纯的充要条件为f0.(4)- 0, 现设T : R-R(C)是一个C映照，p : (r, y) -(u, v).命一+iy，w一+i，今扩充*为对C线性的，则有*dw8+如果把Φ的值域空间与C认同，此时dw8w.因此p*ow-opop一般来说，p不为0，因此外形式的型在Φ*的作用下是不能保持的．只有将甲从C改成是全纯的，才能使形式的型在中作用下得以保持下面开始，我们限于讲复的且全纯的引理2.1.如f：U→C是全纯映照，这里U为C中的开集，则有*8 -8*, 0*-f*0,.13
并且是保型的，即若“是（力，9）型（p，4在01中取值）形式：则仍是（p，9）型形式这个引理的证明是累赞但显然的。另外我们还有如下的等式：若将，g*扩充为对C线性的，则(gof)* - f*og*.这等式实际上就是复合函数求微商的公式，从上面的定义知道，与是共轭的，即8一，亦即对任意的，有哥一哥.因此与中只要研究其中之一就可以了，我们主要研究，现引进记号0: A- A,其中A°表示所有C"函数所成的复域C上的线性空间，41表示所有C的1形式所成的复域C上的线性空间，是一个线性算子，的核Ker（）全纯函数的全体，这就是特别重要的原因，同样，d=+0:A→A,亦是A°到A的线性算子，但Kerd）常值函数的全体，而常值函数是没有什么研究兴趣的，这就是在黎曼面上主要不研究。的原因.“”的重要性，可以作更深一层的解释，在函数论中一个重要的问题是如何构作全纯函数．例如古典的Weierstrass定理，主要就是说在C上可构作一个全纯函数，使其零点为一任意点列，这里Weierstrass用无穷乘积来构作这一全纯函数。Weierstrass的观点一一般是单纯以幂级数的办法来构作全纯函数，在某些情况下（特别在一般的复流形上）这个观点是不能充分解决上述难题的。用近代的术语，Riemann的观点就是把全纯函数看成满足f一0的C函数，就是说，要利用实变数的知识来推进全纯函数的研究。近代偏微分方程方面的工作（特别是C，B.Morrey，J.J.Kohn，L.Hormander）把这个观点变成一个强有力的工具，例如说，设在C上的任一个（0，1）型形式，均有解f，且f能满足“某些自然条件”，则可构作全纯函数如下：在C上取一C函数g，命? 14*
w=g设为的解则有g）g0，即，一g为全纯函数。同时，f若满足“某些然条件”则可保证、所以一品为一非恒等于零的全纯函数，如我们小心挑选g，则（f一g）会有很好的性质，上述的Weierstrass定理，是可用这办法证明的，同理，单复变函数论的另一主要定理，Mittag-Leffler定理，也可用这种想法来证明：这个证明在59，510中可找到（特别是系10.3）现在重温一下微分形式理论的最基本定理Poincare理。（在R上）任何形式w，dw=0<>存在f，使证。当“是函数时，这个引理没有意义，因此只要对“是1形式或2形式来证明．今先假定是实形式。先设为2形式，-F（x，y)dxAdy（在R上任何2形式都是闭的）。今定义fo(xs y) (" P(t, y)dt.又命f一fo(，)dy，aft当w为1形式时，一pdx+q4y，4o0即为ayax(p(t, y)at + f'g(0, ) at, 则 df - t0,命()如为复形式，命+=1其中和为实形式。 do 0< do1 + /-1 doz - 0<>di = daz - 0. 由上得知 o1 df1, 2 - dfz。 因此 o — d(f + - 1 f2),1在这个证明中，的定义，可以解释如下：如f，则f dx + L dy - pdx + gdy,Ox"ay所以f一之充要条件为：afup,f = 4.(*)axay-15-
，则自然先试定义因dxf(r, y) =p(t,y)dt，则得%g(,)(0, )。因而改用此定义和Oyxayf的定义为f(x,y) =p(t,y)at +1'g(o,t)dt,则可立得（*）式。53黎曼曲面和例子定义3.1，维复流形是一个连通、Tz、仿紧的拓扑空间M而且M具有坐标覆盖【U，更小，并适合：(1）每个U,是M内的开集，且UU,=M;(2) @,:U;→C"，且 @,:U,→@(U) 是同胚，而且@（U）是C"内的开集。(3) 对Vi,i,@,o@F1 : @(U,nU) -→ @(U.nU))是全纯的，上述定义中之U，称为坐标邻域，更，称为坐标映照。定义3.2.1维复流形就称为黎曼曲面或黎曼面。在本书中，普通只用到1维与2维复流形，偶然才涉及到更高维的复流形，下面图3.1是流形（黎曼面）定义的图示，定义3.3.f:M→C是全纯函数，如果对每个i，o是@（U）→C的全纯函数。这定义是很自然的，而且由此可以了解定义3.1内条件（3）即设f：M→C为全纯函数，则给出任意i和ifo和都是全纯的。但更一（f）（），所以只有@是?16