PCU[0,，lzEC,且有1使0]因此直接由定义可验证PC- U P-iC.我们称PCU为P,C（对于U。的）在8处的超平面，总结这讨论，我们可直观地说：P,C是C在o处加上一个超平面我们要继续用直观办法讨论P，C的几何意义，这是因为上面P.C的定义是纯代数的，这种形式化的定义不易吸收，所以我们要强调几何直观上的理解，现在要面对的现实就是当>1时，P,C的“实维”已大过3，因此很难在这种情况下作直观的讨论同时n1时又太特殊，唯一的折裹办法就是跑进实域R内研究“实投影空间”PR或PR，然后用比喻的方法回到复域上去了解P.C.这种“从小窥大”的办法，用作培养对个抽象概念的直观，在数学上是很普通的。希望大家今后能养成这种习惯，现在看看PR吧。这就是熟悉的实投影平面，其定义是与PC无异的：PR=R-0/~,其中等价关系~的定义是：（，）～（，，）3ER3-V-12、3.用[l来表示（x）的等价类，这个代数上的定义，自然与大家对PR的直观认识（“PR是R加上很多无穷远点，使所有R上的平行线在PR中有相交点”，大有出入：现在我们从这代数的定义作一些推论，以便给这个“形式定义”与“几何直观”之间作一个联系，设U=[1，，]:x，ER]，则如前定义P,R之拓扑，有U~R，而且P,R - Ue-([o, l, yl : yE R)U(10, 0, I]).记L=P,R一Ue。L称为在无穷远的直线。现设在R上有两条平行直线Liiax+by+co,L:ax+by+c=o.这里产无妨设定产0，此即表示这两条直线不是与*轴.7
垂直的。设EL1=（，）.今将L看成U内（故在PR内)的子集，即将（x，）与[1，x，y]认同由于P2R是拓扑空间，故可取极限．因此当沿着L走到无穷远时，m , -m[1 , ]-X→士日PIEL,- m[1,1, -=] - [0, 1, -].+士bx一是直线Li的斜率，所以pi在P,R内的极限只依赖Li的斜b率.因此如果2EL而P→0，则p2在P,R亦收敛于0，1]. 故 Lin L, -[0, 1,二-](在 P,R内),现在剩下的就是b一0的情况.此时直线在无穷远处，在P,R的坐标即为[0，0，1].所以L即为所有R内直线在无穷远处的极限，亦即是所有内平行直线相交点所成之集。以上就给L。一个直观的解释，回到P,C的情况，对应于R内的直线就是C内的超平面a.a0,iCi而且至少有一个0，将R内平行直线的定义作形式上的推广，就得定义：a11+….++0与%+.++b0平行，如果一a,Vi.（如我们用C内的典范Hermitian内积来解释这定义，则两超平面平行它们与同一个复1维子空间正交，）上面PR的推论自然使我们猜测（*）P.C在co处的超平面P,C一U就是所有C"内平行超平面在无穷远处相交的点集.猜测（*）的证明也不难。事实上用前面对PR的推论就可将（*）证明了，为了简便起见，现用稍为不同的一个证明，命H为超平面·=0因为我们将U与认同，故H= fll, 5i,.-., 5l : ait +...+ an5+ b 0).今考虑P,C内的子集H*=[20, :b20+21++a2,0.8:
注意H*的定义是合理的，现有H*nUo-{[z", z.1 : 2+ 0, bz0 + a12++... + an*n=0][1, 2,,=-]:(-)+. +a()+b-020-H.另一方面H*n(P,C-Uo) f[0, zi,, 2] : a121 + ... + aaz,- 0所以如果在P,C内取极限limp，其中EH,且Ip→co,则所得的极限点就是([0, 313**,2.] : a121 +*- + a-, 0]这个集不依赖于6.故若H是另一个与H平行的超平面，则H与H在8的交就是这个集，同时这些1，，是任意的，故P,C一U。就是所有这样的交的并集，即（*）得证故P,C得到一个直观的解释。上面这殷推论都是由PR的例子启发的，这就是我们上面提到的“从小窥大”的意思，请注意：由PR=R一0}/～，PR与R中通过原点的所有直线所成的集一对应。同样，由定义 P.C= Ca+I[0)/～，亦知P,C是与C+1中通过原点所有的复直线所成的集一对应。由这观点，一个自然的问题就是是否存在一个“同样简单”的空间，使它与C*（或R）内通过原点的复P维（或实维）子空间所成的集一一对应（1≤≤）？这答案是肯定的，这空间就是所谓Grassmannian Gp，n;C)或Gp，n；R），不过这是话题以外了，设，，）是PC上的一个不恒等于0的m次齐次多项式。今定义V, ([zo,.., z,]eP.C: p(zo,.., zn) m 0),这个，称为？所定义的超曲面．因为【，，1是一个等价类，必须证明这定义合理，即证：如（2…，）～（%，，）
和0，），则蕴涵.）0.这是因为由定义,有aEzaziVi0,，故p(z0,.-, zn) p(uzos*-, Azm)=2"p(z0,*., 3a) 0.最有趣的情形是n一2，即PC的情形．此时V，就称为（代数）平面曲线，m就称为V，的阶（degree）例。如=一十十，则V，就是一个三阶的平面曲线，这就是PC中的椭圆曲线的一个例子，这一类曲线的研究在代数数论中占一个重要的地位，它们的性质亦级丰富（可参阅下面第二章6中的（×和章后的注记）平面曲线的研究和紧黎曼面的理论有一个密切的关系。在十九世纪时，这两方面是分不开的，那时的“黎曼面”就是平面曲线，我们要等到53才正式定义黎曼面，所以在这里不能作一个严格的讨论，但乘这机会不妨大概的说一说，如读者对基本的实流形理论有一点训练，则自然可以领略到其中大意，在概念上，下面两个定理把“紧藜曼面”和“平面曲线”之间的关系表达得很清楚定理1.1.任何紧黎曼面都可以全纯浸人P.C，且其像集是一个平面曲线，定理1.2.设M*为P2C内一任意的平面曲线，则有一个不~一定连通的紧黎曼面M和全纯映照f：M-→PC使fM）-M*而且有一个有限点集ACM使升（M一A）是一个全纯嵌入，在定理1.1中的结论只能是浸入而不是嵌入，例如当紧黎曼面之亏格等于2时，则不可能嵌入PC，这书中不会证明定理1.1，但在第五章521，我们将给定理1.2的证明概妥.至于高维的投影空间与黎曼面的关系，则可由下列定理看到：定理1.3.任何紧黎曼面可以全纯嵌入PC.在第五章的521，我们将证明一个较弱的定理（嵌入PC而不是PC.另个嵌人定理亦会在518中找到这短短的非正式的讨论，希望能给读者个部分的鸟瞰，至少希望读者能深信P.C在概念上，对黎曼面理论是很重要的。.10·
52形式微分这一节主要介绍R上的形式微分。今后假设所有的函数（除特别说明外）都是C的在R上已有实坐标y，今定义+V=1y.并引进记号：d1&V=id&z2dxdyd=1dd1de2dxdyCidysdz-dx+1dz dx =ldy引进了上面的记号之后，如是在R上定义的C复值函数，f=+一1（这里是R上的C实函数），则有：[Ou - uaxayf个QuudaDyOx后面的这两个等式就是众所周知的Cauchy-Rienann方程，因此d一0，就是，是全纯函数的充要条件，dsd生的在R上，dx，dy是T（R)（R的切丛）的向冠场dxdy对偶，因此有dx(d)=dx(di=1ddx-0现在我们将二，兰月所生成的空间(在实数域R上)，用复化进行&ydx扩充，亦即将其扩充为复数域上的线性空间。同样的过程对dx，*11