现在我们简略地讨论一下研究黎曼面的三个主要看法（1）复流形的观点：黎曼面是一维的Kahler流形．这里的主要工具是分析、拓扑和微分儿何，例如曲率、示性类、残数公式、榔圆算子等等，本书就采用这个观点（2）代数几何的观点：黎受面是一条代数曲线，即n维复投影空间P，C内的一维紧子簇，这里主要的工具是代数，例如多项式环内的理想理论、Galois理论、赋值论等等。但研究的对象仍然是几何，例如两条在PC内的代数曲线相交于多少点？曲线的一点上是否有切线？等等.（3）代数数论的观点：黎受面是一个一元代数函数域，即一个C的一次纯超越扩充的有限扩充。这里的工具是代数，但对象则是代数和代数数论例如一元代数函数域的扩充理论。这三个观点基本上是等价的，（1）和（3）的等价，可见本书的定理6.3和定理6.6，此外，定理18.8和518末的讨论也说明了（1）知（2）的等价但不同的观点自然导出不同的技巧、重点和结果。比方说，一个代数流形上的“调和形式理论”（见本书的11和13一17）是属于（1）的范圈而不是（2）或（3）的.相反的，因为（2）和（3）完全用代数工具，所以它们的结果和证明都在特征等于力0的情况下成立，这种讨论自然不是（1）所能办到的，但我们不希望读者对上面这三点作片面的理解，以为黎受面的研究是清消楚楚地分为三部分进行的，或者以为可以把兰者中之一孤立起来独自钻研的事实上，在十九世纪初期和中期，（1）和（2）是分不开的。而且过去二十年间所发展的抽象代数几何基本上把（2）和（3）看成是同一回事，所以这三者的分别只表述三种不同的态度，而不是有意划出三条界线，把黎曼面理论作一个“天下三分”，从过去的历史我们知道，这三个观点都是互助互补的。要是任何方面有重要发展的话，则一～定加深其它两方面的了解和启发新的问题，比如说，所谓代数簇的“奇异点分解问题”本来源出于（1），但最后的解答却是完全用代数方法的，即是说变成（2）的范围内的一条定理，自然这条定理也是在（1）的领域内被·2
反复应用的，再举一个例，所谓“Weil猜想”是（3）的范围内的问题，但这些猜想的主要想法却是借用（1）的观点的，而日这些猜想的解决所用的工具已经引导出代数几何（2）的内部革命（scheme，层的应用，tale上同调论等等）所以上面的（1），（2），（3）实际是三位一体的．要是读者有款在任何一方面作深入的研究，则一定要在其它两方道有基本的认识，这点是背定的，在紧黎曼面的理论中，最重要的结果无疑是Riemann-Roch定理。我们甚至可以将本书的题目改为“紧黎蔓面的Riemann-Roch定理及其证明和应用”，在这里我们应该补充两点，第一，书内所载的Riemann-Roch定理的应用是极其初步的，读者要看更深奥的结果，则请参阅下列的文献，特别是Griffiths-Harris的书。其次，本书所给的Ricmann-Roch定理的证明绝不是最快捷的一个，我们写这书的目的不是求速战返决，而是欲借这个机会来向各位介绍一下过去三十年在复流形弹论上的一些新发展，往往在高维时看来抽象和难懂的概念及技巧，在黎曼面上变得明确易懂：因此用黎曼面作这方面的人门初阶，其实是很理想的。当然归根到底，黎曼面的理论本身如果不是充分美好和完整的话，则这本书就会变成东拉西扯、零乱无章的了，所以我们除了介绍一些新工具、新想法之外，还希望读者会觉得黎面本身是得纸读利思考的现在我们讨过论一些基本文献，黎曼的书籍和文章极多，我们只能挑选一小部分以作范例，这方面最有名的书无疑是H. Weyl, The ConceFt of a Riemann Surface, I'hird edition,Addison-WesleyPublishingCo.,1955,这本书的第一版是1913年在德国印行的（原名IdiederRiemannschenFlache)，那时Weyl只有二十六岁，这是本世纪数学界的一部经典著作。近代所用的黎蔓面定义和微分流形的定义，都是从这本1913年的书中来的，近代对黎曼面的基本了解，也同出一处，在1955年这本书的第三版中，还是有资料值得任何一个数学家去学习的。这本书对紧和非紧的黎曼面都有详细的讨论。Weyl写的·3·
书一般来说比较难读，下面这书大致上是设法把Weyl书内较初步的部分为初学者重写的：G. Springer, Introduction to Riemann Surfaces, Addison-WesleyPublishing Co., 1957该书的好处是写得很浅，所以较为容易人手，但最后三十页牵涉到一些较深奥的东西，就写得有点难了，和该书相近而且程度相当的书不多，可举者有二：R. C. Gunning, Lectures on Riemann Surfaces, Princeton Univ.ersity Press, 1966.J. Guenot and R. Narasimhan, Introduction a la theorie des Surfaces de'Riemann,LEnseignement Mathematigue,21(1975),123-328.后者虽然是在数学杂志上发表的文章，但其实与课本无异。这两个文献都着重于用近代的工具和观点来重新讨论黎曼曲面，因此与本书的立场相像。所不同的，前者不用Hodge理论，而且多用一些层论，后者则不用层论而多用一些分析Gunning的书不能讲是写得平易近人，但它的取材却是不错的.Guenot-Narasimhan的长文有很好的非紧黎受面的讨论，请读者注意，用代数几何的观点来讨论黎曼面的书，可推荐的有两本，都是较浅的：R.J. Walker, Algebraic Curves, Princeton University Press, 1950.（DoverPublications在1962年曾把这书重印.）K.Kendig, Elementary Algebraic Geometry, Springer Verlag,1977.近代代数几何用的工具较多，因此写一本完备的课本很难，最近却一连出现两本这方面的好书，它们都是在详细地介绍了代数簇之后才用黎曼面作举例的。R. Hartshone, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977.P. A. Griffiths and J.Harris, Principles of Algebraic Geometry,John-Wiley&Sons,1978,4：
前者全用代数的工具，它对Schemes有初步的介绍，后者是一本所谓“超越代数几何”（TranscendentalAigebraicGeometry）的课本，即是说，只讨论复投影空间PC内的代数簇，而且大部分时间用上面所提的（1）的观点来讨论代数几何，所以Griffiths-Harris这本书他是一般的紧复流形理论方面最完善的课本，Griffiths-Harris的书中小错漏很多，但它最难得的地方是极能把握要点，而且很清楚地告诉读者每个定理或概念的直观意义，这本书不讨论模（modui）理论的最近发展（见下面53的注记），但这缺陷可以用CornablaGriffiths的长文作补充：M. Cornalba and P. A. Griffiths, Some transcendental aspects ofalgebraic geometry, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics,Volume XXIX,Amer.Math.Society Publications, 1975,3-110.希望读者在念完这本书后，至少能够翻一翻Griffiths-Harris和Cornalba-Griffiths这两个文献。这样对这方面的主要想法和大方向都会有一个更清楚的概念，这种认识对于自已做研究工作时如何提问题和独自思考是很重要的下面两本书用近代代数手法来处理黎曼面理论（上面的（3）都是较初步的，读者由这些文献中可以见到黎曼面与代数数论的关系：M. Deuring, Lectures on the Theory of Algebraic Functions ofOne Variable, Springer Verlag Lecture Notes, 1973.S, Lang, Introduction to Algebraic Funcrions and Abelian Func.tions,Addison-Wesiey Pub.Co., 1972:学了一些近代概念后，读者还应“饮水思源”，找个机会看一些古老书籍以作借镜。因为它们总结了上一代的精华，我们是不能忽视的，现只举出两本以作参考：H. Hensel and G, Landsberg, Theorie der Algebraischen Funk-tionen einen Veranderlichen, Leipzig 1902.F. Severi, Vorlesungen uber Algebraische Geometrie, Leipzig1921.·3
第一章基本概念51 P,C 的定义为了以后的需要，我们在这节定义维复投影空间P,C，然后真观地讨论它的几何意义，在这节之末将概括地讨论PC内的平面曲线和黎曼面的密切关系，所谓维投影空间P.C，就是如下的商空间：P,C= Ca+I - {0]/~,这里～表示等价关系：（20·，）～（，）→EC使z一z，V-0，，。注意：根据PC的定义，我们只考非原点的（，，，），即至少有一个≠0，所以上面这个入是恒不等于0的，普通用【，·，来表示（，，）的等价类，所以(z0,,z)→[z0，]定义—个自然投影:Ca+I一{0}P.C.现在利用在P,C上引进拓扑：W为P.C内的开集的充要条件是W'CC+一（0W是C+内的开集，而且（W）一W（这个当然就是常用的商拓扑）.由定义是开映照.定义P.C内（n+1）个常用的子集：U{[zo.,z]:a01α一0，·，”。为了记号上的简便，现在只讨论α0的情况，但一切结论自然对所有的α都成立。命U。=（（1，，，z)：EC}，则U:与U,有一个一-对应:(1,,)-→[1,,."，,].同时U.是P,C内的开集,因(U)是C+1一[0)内的开集【（，，，z0如果用表示同胚，便有U, C" U.现在，6