I《现代数学基础丛书》编委会主编：程民德副主编：夏道行龚昇王梓坤齐民友编委：（以姓氏笔划为序）王柔怀叶彦谦万哲先王世强孙永生庄圻泰江泽坚江泽培张禾瑞严志达胡和生轰灵浴曹锡华蒲保明潘承洞绍接13S8
通用记号R实数域c复数域z整数环Q有理数域C*非零的复数之集R*非零的实数之集3存在,有V对每个,对所有3使蕴涵等价于，充要条件xEB×是B的元ADBB是A的子集BCABCCABCA且B在A内的闭包是紧的
目录通用记号·.引言·第一章基本概念·1SI,C 的定义..1152形式微分1653黎曼曲面和例子26亚纯函数与亚纯微分…5432注记·37Riemann-Roch定理·第二章·3755面子**3956Riemana-Roch定理及初步的应用-60注记·67Riemann-Roch定理的证明第三章6757全纯线丛·7858层论的基本定义·85层的上同调理论（Cech理论）5997510 Dolbeault引理·1065I1Hadge定理和Serre对偶定理125512RR定理的证明128注记140第四章Hodge定理的证明..140$13R上的Sobolev空间149S14定理I，1I,II及Hodge定理的证明156515定理1的证明160多16Rellich引理、Sobolev引理与H_（(0).17017定理ⅡI与Ⅲ的证明180注记.iii
191第五章一一些基本定理518级，消没定理及嵌入定理191519陈类及Gatss-Boanet定理·199210520旧地重游217多21黎曼面与平面曲线注记224231附录一域的扩充$1232环的知识23632域的代数扩充、有限扩充，53242域的超越扩充54244多项式的分裂域与本原元素定理250附录二层论简介25051层的定义与基本性质26552子层与商层Cech上同调理论273$ 3291名词索引
引言本书的主要目的是讨论紧黎受（曲）面，但对非紧的黎曼面也有初步的介绍。紧黎曼面的重要性是由于它们是紧复流形中最简单的例子，紧复流形是近代数学的一个主要研究对象。无论在代数几何、自守函数论、或微分几何中，紧复流形都占一个重要的地位：同时紧复流形理论中的技巧和想法对多复变函数论也有重大的影响。所以本书可以看作近代数学很多方面的人门。要是能把这个简单的特殊情况好好掌握的话，那么对下一步的研究是会有很大帮助的，一个黎受面从局部的眼光看来，只是复平面中的一个开集。从整体的眼光看来，黎曼面的要点是在它上面能引进全纯和亚纯的概念，所以本书大部分的时间都花在研究紧黎受面上的全纯微分、亚纯函数等等以及它们之间的关系。从几何的眼光看来，黎曼面是一个相当简单的概念，因为任何一个紧的黎曼面都与R内一个闭曲面（或称紧曲面）同胚，最简单的闭曲面自然是球面，其次是环面，如果环面上多挂一个环柄，就得到一个有两个“洞”的闭曲面，如下图所示，这曲面就是一个所谓亏格等于2的曲面，一般来说，如果R内一个闭曲面有个“洞”，就称之为有亏格等于的闭曲面（"三0）从拓扑型的观点来着，这些曲面就是所有的紧要面了，1