《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性 4-2 向量组的线性相关性

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定义 1 给定向量组A:α1,α2,,αm，对于任何一组实数k，kz,.…,km,向量k,α, +k,α2 +...+ kmαm称为向量组的一个线性组合，k，kz,...,k称为这个线性组合的系数正页回下页

组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2  定义１     . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH给定向量组A:α1,α2,.,αm和向量b,如果存在一组数入，元2,…,元m，使b = 2,α, + 2,α2 + ...Amαm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示即线性方程组X,αi + x,α2 +...+xmαm = b有解上页下页回

b = 11 + 2 2 +   m  m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b      , : , , , , 1 2 1 2   . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x  + x  +  + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示． b A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α，α2…,αm)的秩等于矩阵B= (αj, α2,.….,αm,b)的秩定义2设有两个向量组A: αj,α2,...,αm及B: β,,β,,...,β,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价上页画下页

( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， ， 的 秩 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m         = = 定理1 定义２ . : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A     m B     s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH若记A = (αi,α2,..,αm)和B = (b,,b2,..,b,).B能由A线性表示，即对每个向量b;(j=1,2,,s)存在数kuj,k2j,..kmj,使b, = kijαi + k2jα2 +... + kmjαmkvik2j=(α1,α2,..,αm)Rm上页回下质

在数 使 能由 线性表示，即对每个向量 存 若记 （ 和 （ , , , ( 1,2, , ) , , , ) , , , ). 1 2 1 2 1 2 j j mj j m s k k k A b j s A B b b b B     = =    = bj = k1 j1 + k2 j 2 + + kmj m , , , ) , 2 1 1 2               = mj j j m k k k  （   

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH从而kuk12kisk2sk21k22(b,,b2,..,b,) =(α1,α2,...,αmkKkm2ms矩阵Kmxs=(k,)称为这一线性表示的系数矩阵上页回下页

（b1 ,b2 ,  ,bs ) = 从而               m m ms s s m k k k k k k k k k        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 （ , , , ) 矩阵 ( )称为这一线性表示的系 数矩阵. Kms = kij