《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3-2 矩阵的秩

矩阵的初等变换与线性方程组 第二节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、矩阵秩的概念任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.矩阵的秩定义1在m×n矩阵A中任取k行k列（k≤m,k≤n），位于这些行列交叉处的个k2元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式！称为矩阵A的k阶子式上页回下页

. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m    一、矩阵秩的概念 矩阵的秩

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHm×n矩阵A的k阶子式共有Ck·Ck个定义2设在矩阵A中有一个不等于0的 k阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数1称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩等于零m×n矩阵 A的秩R(A)是 A中不等于零的子式的最高阶数对于 AT，显有 R(A')= R(A)福回页下页

. ( ) . 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定 义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶 子 A R A D A r D r A k + . ( ) 子式的最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 = 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH123例1的秩求矩阵A=23-5解在A中, 0.32又：A的3阶子式只有一个A，且A=0,R(A) = 2.上页下页回

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH23-22的秩。例2 求矩阵B=4300解　：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行B的所有4阶子式全为零2-13而03-2￥0,:. R(B) = 3.004上页国下页

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3