矩阵的初等变换与线性方程组 第三节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、线性方程组有解的判定条件问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩讨论线性方程组 Ax=b的解定理1 n元齐次线性方程组Amxx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩RA)<n证必要性． 设方程组 Ax =0 有非零解，设R(A)= n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而D,所对应的n个方程只有零解（根据克拉默定理物福回下质
( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH这与原方程组有非零解相矛盾即 R(A)< n.R(A)=n 不能成立.充分性。 设 R(A)=r< n,则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行从而知其有n一r个自由未知量任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0 即可得方程组的一个非零解福画页下页
这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理2n元非齐次线性方程组Amxx=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵 B=(A,b)的秩证必要性.设方程组 Ax=b有解，设R(A)< R(B)则的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程01，这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)页回下页
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH充分性. 设 R(A)= R(B)设 R(A)= R(B)= r(r ≤ n)则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量其余n一r个作为自由未知量并令n一r个自由未知量全取0即可得方程组的一个解证毕页回下页
并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r