《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-1 预备知识——向量的内积

相似矩阵及二次型 第一节 预备知识：向量的内积 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH内积的定义及性质一、P定义1设有n维向量XIX2Vx=V一XYn令 [x,y]= xiyi + x2y2 +...+xnyn称[x,y为向量x与y的内积页国下质

定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1               =               = n n y y y y x x x x     n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH说明1 n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义2 内积是向量的一种运算,如果x，y都是列向量，内积可用矩阵记号表示为：[x, y] = xT y.页国下页

说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n  4)  ,  . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH内积的运算性质(其中x,y,z为n维向量,a为实数)(1)[x,y] =[y,x];(2) [ax,y]= a[x,y](3)[x + y,z] =[x,z]+[y,z];(4)[x,x]≥0,且当x ± 0时有[x,x] > 0.上页下质回

内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y =  y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x]  0,且当x  0时有[x, x]  0

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、向量的长度及性质2令定义2x= ~[x,x] = x + x +...+x?称|x为n维向量x的长度(或范数）向量的长度具有下述性质：1.非负性当x±0时,x>0;当x=0时，=0;2.齐次性[2x=2x|;3.三角不等式x+y≤x+y上页下页回

定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 ,  , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x  0时, x  0;当x = 0时, x = 0; x =  x ; x + y  x + y . 二、向量的长度及性质