2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解

万学教育海文考研 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 f(odt (1)设函数f(x)在区间[-1,1]上连续,则x=0是函数g(x) (4)跳跃间断点 (B)可去间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点 分析:mg(x)= lim of(t =1mf(=/(0),所以x=0是函数g(x)的可去间断点。 n2+y2 (2)设∫连续,x 1,x+y=,n>1则F(L)2=∫ aF 4)y(n2) (B)yf(u) )2() 解:选A 分析:用极坐标得F(n)=- w=db=/(2 =y(2) 3)设(x)=2则函数在眼点偏导数存在的情是 (4)f(00)存在了厂00)存在(B)厂(0.0存在,f(Q,0)不存在 (C)f(0.0)不存在,f(O,0)存在(D)(0,0)不存在∫00)不存在 解:C 分析:f(0,0)=m+AW1,2-1_1e2-1 x→0x-0x+0+0x-0x→0+x-0 第1页共12页

万学教育 海文考研 第 1 页 共 12 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f x( ) 在区间 [ 1,1] − 上连续，则 x = 0 是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x =  的（ ） ( A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 解： B 分析： ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) lim ( ) lim lim 0 x x x x f t dt g x f x f → → → x = = =  ，所以 x = 0 是函数 g x( ) 的可去间断点。 （2）设 f 连续， 2 2 x y + =1， 2 2 2 xyu + = ，u 1 ，则 ( ) ( ) 2 2 2 2 , D f u v F u v dudv u v + = +  ， 则 F u  =  （ ） ( A) ( ) 2 vf u (B) vf u( ) (C) ( ) v 2 f u u (D) ( ) v f u u 解：选 A 分析；用极坐标得 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 1 1 , ( ) v u u f r r D f u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v + = = = +     ( ) F 2 vf u u  =  （3）设 2 4 ( , ) , x y f x y e + = 则函数在原点偏导数存在的情况是( ) ( A) (0,0) , (0,0) x y f f   存在 存在 (B) (0,0) , (0,0) x y f f   存在 不存在 (C) (0,0) , (0,0) x y f f   不存在 存在 (D) (0,0) , (0,0) x y f f   不存在 不存在 解： C 分析： 2 4 0 0 0 1 1 (0,0) lim lim 0 0 x x x x x e e f x x + → → − −  = = − − 0 0 0 1 1 lim lim 1 0 0 x x x x e e → + → + x x − − = = − − ， 0 0 1 lim 1 0 x x e x − → − − = − −

万学教育海文考研 故lim ≠Iim 所以偏导数不存在 √5+ f(0.0)=1im 所以偏导数存在。故选C (4)曲线段方程为y=f(x)函数在区间0上有连续导数则定积分xf(xx() (4)曲边梯形ABCD面积 (B)梯形ABCD面积 (C)曲边三角形ACD面积 (D)三角形ACD面积 解:(C) 分析:们(()=(0)-( 其中叭()是矩形面积,「(为曲边梯形的面积,所以(x为曲边三角 形的面积。 (5)设A为n阶非0矩阵E为n阶单位矩阵若A=0,则( (4)E-A不可逆,E+A不可逆(B)EA不可逆,E+逆 (c)E-A可逆!E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 分析:(E-圳区+4+4)=E-4=E,(E+AE-A+4)=E+A=E 故E-A,E+A均可逆。 (6)设A 21则在实数域上与 2 (B) 解:(D 第2页共12页

万学教育 海文考研 第 2 页 共 12 页 故 0 0 0 0 1 1 lim lim 0 0 x x x x e e x x − → + → − − −  − − ，所以偏导数不存在。 2 4 2 0 0 0 1 1 (0,0) lim lim 0 0 0 y y y y y e e f y y + → → − −  = = = − − 所以偏导数存在。故选 C （4）曲线段方程为 y f x = ( ) 函数在区间 [0, ] a 上有连续导数则定积分 0 '( ) a xf x dx  （ ） ( A) 曲边梯形 ABCD 面积. (B) 梯形 ABCD 面积. (C) 曲边三角形 ACD 面积. (D) 三角形 ACD 面积. 解： (C) 分析： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a xf x dx xdf x af a f x dx  = = −    其中 af a( ) 是矩形面积， 0 ( ) a f x dx  为曲边梯形的面积，所以 0 ( ) a xf x dx   为曲边三角 形的面积。 （5）设 A 为 n 阶非 0 矩阵 E 为 n 阶单位矩阵若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. 解： (C) 分析： 2 3 ( )( ) E A E A A E A E − + + = − = ， 2 3 ( )( ) E A E A A E A E + − + = + = 故 E A E A − + , 均可逆。 （6）设 1 2 2 1 A   =     则在实数域上与 A 合同矩阵为（ ） ( A) 2 1 1 2   −     − . (B) 2 1 1 2   −     − . (C) 2 1 1 2       . (D) 1 2 2 1   −     − . 解： (D)

万学教育海文考研 分析:|E-A= (A-1)-4=2-2A-3=(2+1)(2-3)=0 则A=-1,2=3。记D= 则 A-12 (-1)-4= =(+1)(2-3)=0 正、负惯性指数相同,故选(D (7)随机变量X,y独立同分布且X分布函数为F(),则Z=max{MP分布函数为 (4)F2(x) (B) F(x)F() (q)1-[1-F(x) (D)[-F(x)F( 解:(4) 分析: F(2)(25)=P{mm+=P(xs)P(yx)=F()()+() (8)随机变量X~N(Q1),Y-N(14)且相关系数P=1 (AP{Y=2x-1=1 (B)P{Y=2Xx-1= (C)P{=-2x+l (D)P{Y=2X+1}=1 解:选(D) 分析:用排除法 设Y=ax+b,由px=1,知道x,Y正相关,得a>0,排除(4)、(C) 由X~N(O,1)Y~N(1,4),得 EX=0,EY=l,E(=E(ax +6=aEX +b 1=a×0+b,b=1 排除(B) 第3页共12页

万学教育 海文考研 第 3 页 共 12 页 分析： ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E A         − − − = = − − = − − = + − = − − 则 1 2   = − = 1, 3 。记 1 2 2 1 D   − =     − ，则 ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E D         − − = = − − = − − = + − = − 则 1 2   = − = 1, 3 正、负惯性指数相同，故选 (D) （7）随机变量 X Y, 独立同分布且 X 分布函数为 F x( ) ，则 Z X Y = max ,   分布函数为 （ ） ( A) ( ) 2 F x . (B) F x F y ( ) ( ) . (C) ( ) 2 1 1 − −   F x   . (D)     1 1 − − F x F y ( ) ( )     . 解： ( A) 分析： F Z P Z z P X Y z ( ) =  =  ( ) max ,    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 =   = = P X z P Y z F z F z F z （8）随机变量 X N(0,1) ，Y N(1,4) 且相关系数 1  XY = ，则（ ） ( A) P Y X  = − − = 2 1 1  . (B) P Y X  = − = 2 1 1  . (C) P Y X  = − + = 2 1 1  . (D) P Y X  = + = 2 1 1  . 解：选 (D) 分析： 用排除法 设 Y aX b = + ，由 1  XY = ，知道 X Y, 正相关，得 a  0 ，排除 ( A) 、(C) 由 X N Y N ~ (0,1), ~ (1,4) ，得 EX EY E Y E aX b aEX b = = = + = + 0, 1, ( ) ( ) 1 0 , 1 =  + = a b b 排除 (B)

万学教育海文考研 故选择(D) 、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 C (9)设函数f(x)={2 在(-∞,+∞)内连续,则 分析:由lmf(x)=lim∫(x)→c2+1=-→c=1 0+( 解:-ln3 分析:fx+ 所以∫() 2如=(2=(m6-3=2n3 (l1) yxxdy 其中D:x2+y2≤ 4 析』x的的=(+y)地=广 (12)微分方程xy3+y=0,y(1)=1,求方程的特解y 解 分析:由 本=x2y=x-所以同=,又p()=1,所以y=1 dy -y dy dx (13)设3阶矩阵A的特征值1,2,2,4f-E 解:A的特征值为1,2,2,则存在可逆矩阵P,使得 第4页共12页

万学教育 海文考研 第 4 页 共 12 页 故选择 (D) 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x  +   =     在 ( , ) − + 内连续，则 c = . 解：1 分析：由 ( ) ( ) 2 2 lim lim 1 1 x c x c f x f x c c c → → + − =  + =  = （10）函数 3 4 1 1 x x f x x x   +   + =   + ，求积分 ( ) 2 2 2 f x dx =  . 解： 1 ln 3 2 分析： 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x x f x x x x x x + +     + = =   +     + −   所以 ( ) 2 2 t f t t = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ln 2 ln 6 ln 2 ln 3 2 2 2 2 x f x dx dx x x = = − = − = −   （11） 2 ( ) D x y dxdy − =  .其中 2 2 D x y : 1 +  解： 4  分析： ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 2 D D D x y dxdy x dxdy x y dxdy − = = +    2 1 2 0 0 1 2 4 d r rdr   = =    （12）微分方程 xy y y  + = = 0, (1) 1, 求方程的特解 y = . 解： 1 y x = 分析：由 , , ln ln dy y dy dx y x dx x y x − = = − = − 所以 1 x y = ，又 y(1) 1 = ，所以 1 y x = . （13）设 3 阶矩阵 A 的特征值 1，2，2， 1 4A E − − = . 解： A 的特征值为 1，2，2，则存在可逆矩阵 P ，使得

万学教育海文考研 分析:P-AP BA=PBP-A=PB P 4A-E=4PB-p--E=4PBP--PEP-1P4B--EllP-=4B-E 则4B-E 3 (14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则P{x=Ex2 解 分析:因为DY=E(EX),所以EX2=2,X服从参数为1的泊松分布 所以P{= 三、解答题:15-23小题,共9分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)〈本题满分10分) 求板限imln SInx 解:li lim-InlI sinx In = lim sinx cOS x-1 sinx (16)(本题满分10分) 设z=(x,y)是由方程x2+y2-=0(x+y+2)所确定的函数,其中g具有2阶 导数且q≠-1时,求 d (2)记a(x,y)= 求 x-y( ax ay/Ox 2xdx+2ydy-d=p(x+y+=)(dx+dy+d=) 第5页共12页

万学教育 海文考研 第 5 页 共 12 页 分析： 1 1 1 1 1 1 2 , , 2 P AP B A PBP A PB P − − − − −     = = = =       ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 A E PB P E PB P PEP P B E P B E − − − − − − − − − − = − = − = − = − 因 1 1 1 2 1 2 B −         =         ，则 1 3 4 1 3 1 B E − − = = （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则   2 P X EX = = . 解： 1 1 2 e − 分析：因为 2 2 DX EX EX = −( ) ，所以 2 EX = 2， X 服从参数为 1 的泊松分布， 所以   1 1 2 2 P X e− = = 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分） 求极限 2 0 1 sin lim ln x x → x x . 解： 2 2 0 0 1 sin 1 sin lim ln lim ln 1 1 x x x x → → x x x x   = + −     3 2 0 0 0 sin cos 1 sin 1 lim lim lim x x x 3 6 6 x x x x → → → x x x − − = = = − = − (16) （本题满分 10 分） 设 z z = ( , ) x y 是由方程 ( ) 2 2 x y z x y z + − = + +  所确定的函数，其中  具有 2 阶 导数且  −1 时，求 (1) dz （2）记 ( ) 1 , z z u x y x y x y     = −   −     ，求 u x   . 解： ① 2 2 xdx ydy dz x y z dx dy dz + − = + +  + + ( ) ( )