2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

万学教育海文考研 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设f(x)=x(x-1)(x-2),求f(x)的零点个数() (B)1 (C)2 解:( 分析:f(x)=2x(x-1)(x-2)+x2(x-1)+x2(x-2)=x(4x2-9x+4 令厂(x)2=0,则可得f()零点的个数为3 (2)曲线方程为y=f(x)函数在区间[q上有连续导数,则定积分x(x)() (4)曲边梯形ABCD面积 (B)梯形ABCD面积 (q曲边三角形CD面积 (D)三角形ACD面积 解:( 分椭厂(x)hx()20(),其中(a)是矩形面积,/(xA 为曲边梯形的面积,所以可(x)为曲边三角形的面积 (3)在下列做分方程中,以y=Ce+C2cos2x+C3sin2x(CC2C为任意常数)为 通解的是( (4)y"+y-4y-4y=0 B)y+y+4y2+4y=0 (C)y-y-4y+4y=0 (D)y"-+4y-y=0 解:(L 分析:由y=Ce+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为1=1,乙23=±2i 故对应的特征方程为(-1)(+2)(2-2)=(λ-1(2+4),即43-12+4A-4=0 所以所求微分方程为y"-y+4y-4y=0,选(D (4)判断函数∫(x)= /x~ SiNx(x>0)间断点的情况() 第1页共10页

万学教育 海文考研 第 1 页 共 10 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设 2 f x x x x ( ) ( 1)( 2) = − − ，求 f x ( ) 的零点个数（ ） ( A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解： (D) 分析： ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x x x x x x x x x x x  = − − + − + − = − + 2 1 2 1 2 4 9 4 令 f x ( ) = 0 ，则可得 f x ( ) 零点的个数为 3. （2）曲线方程为 y f x = ( ) 函数在区间 [0, ] a 上有连续导数，则定积分 0 '( ) a xf x dx  （ ） ( A) 曲边梯形 ABCD 面积. (B) 梯形 ABCD 面积. (C) 曲边三角形 ACD 面积. (D) 三角形 ACD 面积. 解： (C) 分析： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a xf x dx xdf x af a f x dx  = = −    ，其中 af a( ) 是矩形面积， 0 ( ) a f x dx  为曲边梯形的面积，所以 0 ( ) a xf x dx   为曲边三角形的面积。 （3）在下列微分方程中，以 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + （ 1 2 3 C C C , , 为任意常数）为 通解的是（ ） ( A) y y y y    + − − = 4 4 0 . (B) y y y y    + + + = 4 4 0 . (C) y y y y    − − + = 4 4 0 . (D) y y y y    − + − = 4 4 0 . 解： (D). 分析；由 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + 可知其特征根为 1 2,3   = =  1, 2i . 故对应的特征方程为 2 ( 1)( 2 )( 2 ) ( 1)( 4)      − + − = − + i i ，即 3 2    − + − = 4 4 0 所以所求微分方程为 y y y y    − + − = 4 4 0 , 选 (D). （4）判断函数 ln ( ) sin ( 0) 1 x f x x x x =  − 间断点的情况( )

万学教育海文考研 (4)有1个可去间断点,1个跳跃间断点 (B)有1个跳跃间断点,1个无穷间断点 (C)有两个无穷间断点 (D)有两个跳跃间断点 分析:f(x)的间断点为x=1,0,而limf(x)=0,故x=0是可去间断点; limf(x)=sinl,limf(x)=-sin1,故x=1是跳跃间断点 x→1+ 故选(4) (5)设函数/(x)在(-+∞)内单调有界,{x}为数列,下列命题正确的是() ()若{x收敛,则{(x)收敛 (B)若{x}单调,则{f(xn)收敛 (C)若{f(x,)收敛则{x}收敛 (D)若{f(x)单调,则{x}收敛 解:(B) 分析若{x单调,则由f(x)在(一+)内单调有界知/(xy单调有界, 因此{(x,)收效应选(B) (6)设∫连续,x+y2=1,x2+y2=n2,M>1,则F(L) 则 OF (4)yf(n2) (B)yf(u) (C)f(x2) (D)-f(u 解:选A flu+v 分析:用极坐标得F(u,v) doh=」!puh=y/(rM 第2页共10页

万学教育 海文考研 第 2 页 共 10 页 ( A) 有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 (B) 有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点 (C) 有两个无穷间断点 (D) 有两个跳跃间断点 解： ( A) 分析： f x( ) 的间断点为 x =1,0 ，而 0 lim ( ) 0 x f x → + = ，故 x = 0 是可去间断点； 1 lim ( ) sin1 x f x → + = ， 1 lim ( ) sin1 x f x → + = − ，故 x =1 是跳跃间断点 故选 ( A) 。 （5）设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ） ( A) 若 xn 收敛，则  f x( ) n  收敛. (B) 若 xn 单调，则  f x( ) n  收敛. (C) 若  f x( ) n  收敛，则 xn 收敛. (D) 若  f x( ) n  单调，则 xn 收敛. 解： (B) 分析：若 xn 单调，则由 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界知，  f x( ) n  单调有界， 因此  f x( ) n  收敛,应选 (B). （6）设 f 连续， 2 2 x y + =1， 2 2 2 xyu + = ，u 1 ，则 ( ) ( ) 2 2 2 2 , D f u v F u v dudv u v + = +  ， 则 F u  =  （ ） ( A) ( ) 2 vf u (B) vf u( ) (C) ( ) v 2 f u u (D) ( ) v f u u 解：选 A 分析；用极坐标得 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 1 1 , ( ) v u u f r r D f u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v + = = = +     ( ) F 2 vf u u  = 

万学教育海文考研 (7)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵若A3=0,则() (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 分析:(E-A)(E+A+A)=E-A=E,(E+AE-A+A2)=E+A=E 故E-A,E+A均可逆 (8)设A= 2 则在实数域上与A合同的矩阵为 + () 分析,1E-4 (2+1)(2-3) 则入=1=3。记D(1-2 则 21 D (2+1)(2-3)=0 则A=-1,2=3 填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 cos(sInx (9)f(x)连续,lim 1,则f(0)= Df(x) 解: 第3页共10页

万学教育 海文考研 第 3 页 共 10 页 （7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. 解： (C) 分析： 2 3 ( )( ) E A E A A E A E − + + = − = ， 2 3 ( )( ) E A E A A E A E + − + = + = 故 E A E A − + , 均可逆。 （8）设 1 2 2 1 A   =     ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（ ） ( A) 2 1 1 2   −     − . (B) 2 1 1 2   −     − . (C) 2 1 1 2       . (D) 1 2 2 1   −     − . 解： (D) 分析： ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E A         − − − = = − − = − − = + − = − − 则 1 2   = − = 1, 3 。记 1 2 2 1 D   − =     − ，则 ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E D         − − = = − − = − − = + − = − 则 1 2   = − = 1, 3 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） f x( ) 连续， 2 0 1 cos(sin ) lim 1 ( 1) ( ) x x x e f x → − = − ，则 f (0) = 解： 1 2

万学教育海文考研 0x/fmy1则m3 -sin x 分析:lim 1,由f(x)连续,则f(0)= x-o f(x) (10)曲线sn(xy)+hn(y-x)=x在点(01)处的切线方程为 解:y=x+1 分析:设F(x)=sm)+lm(y=x)一x,斜率k=Fo(my)+~1 在 F x cos(xy)+ (0,1)处,k=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1 (11)求函数f(x)=(x-5)x3的拐点 解 分析:f(x)=x3+(x (x-2)x3, 令r9x2(x+=0,得x=1,面x=+1时,(3)有两边不变号故不是拐 点,x=0时三阶导数不存在且f(x)左右两边正负号改变,故x20是拐点 (12)已知z= (1,2) (ln2-1) 分析:令u=2,y=x,从而z=,对方程两边去对数得lnz=lnu,对改方程两边对x 求导,所以 ax Inu+=u,IInI_I -(In =()(+hn1 =x(ln2-1) 2)x 第4页共10页

万学教育 海文考研 第 4 页 共 10 页 分析： 2 2 0 0 1 1 sin 2 2 lim 1, lim 1 ( ) ( ) x x x → → x f x f x = = 则 ，由 f x( ) 连续，则 1 (0) 2 f = （10）曲线 sin ln ( xy y x x ) + − = ( ) 在点 (0,1) 处的切线方程为 . 解： y x = +1. 分析：设 F x y xy y x x ( , ) sin( ) ln( ) = + − − ，斜率 1 cos( ) 1 1 cos( ) x y y xy F y x k F x xy y x − + − − = − = − + − ，在 (0,1) 处， k =1，所以切线方程为 y x − =1 ，即 y x = +1 （11）求函数 2 3 f x x x ( ) ( 5) = − 的拐点______________. 解： x = 0 分析： 2 1 1 3 3 3 2 5 ( ) ( 5) ( 2) 3 3 f x x x x x x − −  = + − = − ， 令 4 3 10 ( ) ( 1) 0 9 f x x x −  = + = ，得 x =−1 ，而 x =−1 时， f x ( ) 左右两边不变号，故不是拐 点， x = 0 时，二阶导数不存在且 f x ( ) 左右两边正负号改变，故 x = 0 是拐点。 （12）已知 x y y z x   =     ，则 (1,2) _______ z x  =  . 解： 2 (ln 2 1) 2 − 分析；令 , y x u v x y = = ，从而 v z u = ，对方程两边去对数得 ln ln z v u = ，对改方程两边对 x 求导，所以 1 1 1 ln ln x x z v y v u u z x u y x y  = + = −    ， (1,2) (1,2) (1,2) 1 1 1 1 2 ( ln ) ( ) ( ln ) (ln 2 1) 2 x y z y y y z x y x y x y x y  = − = − = − 

万学教育海文考研 (13)矩阵A的特征值是A2,3,其中未知,且24=48,则A= 解:A=1 分析:由矩阵特征值与矩阵行列式之间的关系得,23·元=-6,故λ=1 (14)设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2维列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2,则A的 非零特征值为 分析:A(a12a2)=(Ax2,Aa2)=(0,2a1+a2)=(a1,a2) 记P=(a1,a2),P可逆,故PA A-2 A与B有相同的特征值E-B= A(2-1),A2=0,1,故非零的特征值为1。 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (本题满分10分 sIn x-sin n(sin x)Sinx 求极限lim 解: lim isinx-sin sin x)sinx =lim Sin x-sin x lim osx-cos(sin x). cos x lim cosx(-cos( inx)-1 sn(sinx)·cosx 3 (17)(本题满分10分 求积分x2acns 分析:令x=sint,则 x arcsinx_[2 sInt·t dx cost cos tdr (18)(本题满分10分) 求函数l=x2+y2+2在在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大和最小值 第5页共10页

万学教育 海文考研 第 5 页 共 10 页 （13）矩阵 A 的特征值是 ,2,3 ，其中  未知，且 2A =-48，则  =_______. 解：  =-1 分析：由矩阵特征值与矩阵行列式之间的关系得， 2 3 6   = −  ，故  =-1 （14）设 A 为 2 阶矩阵， 1 2 a a, 为线性无关的 2 维列向量， 1 2 1 2 Aa Aa a a = = + 0, 2 ，则 A 的 非零特征值为 . 解：1 分析： 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 ( , ) ( , ) (0,2 ) ( , ) 0 1 A A A           = = + =     记 1 2 P P = ( , ),   可逆，故 1 0 2 0 1 P AP B −   = =     A 与 B 有相同的特征值 2 ( 1) 0 1 E B      − − = = − − ， 1,2  = 0,1 ，故非零的特征值为 1。 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 10 分） 求极限 ( ) 4 0 sin sin sin sin lim x x x x → x   −   . 解： 4 3 0 0 (sin sin sin )sin sin sin sin lim lim x x x x x x x → → x x − − = 2 0 cos cos(sin ) cos lim x 3 x x x → x −  = 2 0 0 cos (1 cos(sin )) sin(sin ) cos lim lim x x 3 6 x x x x → → x x −  = = 0 sin 1 lim x 6 6 x → x = = (17)（本题满分 10 分） 求积分 2 1 0 2 arcsin 1 x xdx − x  解： 分析：令 x t = sin ，则 2 2 1 2 0 0 2 arcsin sin cos 1 cos x x t t dx tdt x t   = −   2 2 2 0 0 1 1 1 cos2 2 2 4 16 tdt t tdt    = − = +   (18)（本题满分 10 分） 求函数 2 2 2 u x y z = + + 在在约束条件 2 2 z x y = + 和 x y z + + = 4 下的最大和最小值