定义.设∑为光滑的有向曲面，在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,2),Q(x,y,),R(x,y,)若对Σ的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 1im∑[P(5,n,5)AS)yz 2→0 i=l +Q(i,n,i)(ASi)=x+R(si,ni,5i)(ASi)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 [Pdydz+Qd=dx+Rdxdy PQ,R叫做被积函数；∑叫做积分曲面
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 i i i i zx + Q( , , )(S ) 分, Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 定义
八Pdyd=i称为P在有向曲面∑上对y,z的曲面积分 八Qd=dx称为Q在有向曲面∑上对z,x的曲面积分； 小Rdxdy称为R在有向曲面∑上对x,y的曲面积分. 引例中，流过有向曲面∑的流体的流量为 =[fPdyd=+Qd=dx+Rdxdy 若记∑正侧的单位法向量为n=(cosa,cosB,cosy) ds=nds=(dydz,dzdx,dxdy) A=(P(xy,z),Q(x,y,2),R(x,y,2) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 Pdyd:+Qd=dx+Rdxdy =f 4nds-f4d
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rd xd y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; = Pdy d z + Qd z d x + Rdx dy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = A nd S = Ad S
山东农业大 3.对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的 一些性质， (1)如果把S分成S,和S2,则 ∬Pddt+Oddk+Rakd =∬Pddk+Qddx+Rkdr+∬Pddk+Oddk+Rak. (2)设$是有向曲面，S表示与$取相反侧的有向曲面， 则 ∬Pddt+Qd-dx-+Rdkr=-J∬Pddk+Odzdx+Rdky
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的 一些性质 (1)如果把S分成S1和S2 则 (2)设S是有向曲面 S −表示与S取相反侧的有向曲面 则 Pdydz+Qdzdx +Rdxdy = Pdydz+Qdzdx +Rdxdy+ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy 1 2 Pdydz+Qdzdx +Rdxdy = − Pdydz+Qdzdx +Rdxdy −