教 学基本指 教学课题第八章第一节向量及其线性运算 课的类型新授课 教学重点向量的运算及坐标表示、方向角、投影，空间直教学难点投影 角坐标系 教学要求 1. 正确理解向量的概念： 2 熟练掌握向量加法及数与向量乘积的定义以及坐标表示： 3. 理解和掌握空间直角坐标系（八个卦限、三条坐标轴、三张坐标平面）： 4.熟记向量的模、方向角的计算公式，掌握向量在轴上的投影及其性质， 教 学 基本 内 容 1.向量： 既有大小又有方向的物理量称为向量.在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大 小，其方向（箭头）表示向量的方向， 向量的表示：以M,为起点，M,为终点的有向线段表示的向量记为M,M,有时也用一个 黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图5-1），如a或a. 向量的模：向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作4，M,M模为 1的向量称为单位向量，记作，模为0的向量称为零向量，记作0.零向量的方向可以看作是 任意方向. 向径：以原点O为始点的向量OM,称为点M的向径，记作r,即r=OM 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 2.向量的运算 ①a+b,a-b=-a+(-b):平行四边形法则（咸三角形法则） ②设是一个数，向量a与数的乘积a规定为： 当1>0时，a表示一个新的向量，其大小2d=d,方向与a同向： 当元=0时，元a=0是零向量： 当元<0时，a表示一个新的向量，其大小2d=-元d,方向与a反向 3.空间直角坐标系： 经过空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且具有相同的长度单位 这三条数轴分别称为x轴（横轴入、y轴（纵轴）、：轴（竖轴）、统称坐标轴.其正向符合右手规 则.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系 注意：八个卦限、三条坐标轴和三张坐标平面上点的坐标的特点
1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第一节 向量及其线性运算 课的类型 新授课 教学重点 向量的运算及坐标表示、方向角、投影，空间直 角坐标系 教学难点 投影 教学要求 1. 正确理解向量的概念； 2. 熟练掌握向量加法及数与向量乘积的定义以及坐标表示； 3. 理解和掌握空间直角坐标系(八个卦限、三条坐标轴、三张坐标平面)； 4. 熟记向量的模、方向角的计算公式，掌握向量在轴上的投影及其性质。 教 学 基 本 内 容 1.向量： 既有大小又有方向的物理量称为向量. 在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大 小，其方向（箭头）表示向量的方向. 向量的表示： 以 M1 为起点，M2 为终点的有向线段表示的向量记为 M M1 2 ，有时也用一个 黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图 5-1），如a 或 a . 向量的模： 向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作 a ， M M1 2 .模为 1的向量称为单位向量，记作 e . 模为0 的向量称为零向量，记作0 . 零向量的方向可以看作是 任意方向. 向径： 以原点O 为始点的向量OM ，称为点 M 的向径，记作 r ，即 r = OM . 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 2. 向量的运算 ① a b + , ab a b − = +−( ) : 平行四边形法则(或三角形法则) ② 设λ 是一个数，向量 a 与数λ 的乘积λa 规定为: 当λ > 0 时，λa 表示一个新的向量，其大小 λ λ a a = ，方向与 a 同向； 当λ = 0 时，λa = 0 是零向量； 当λ < 0 时，λa 表示一个新的向量，其大小 λ λ a a = − ，方向与 a 反向. 3. 空间直角坐标系： 经过空间一个定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位， 这三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规 则. 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 注意：八个卦限、三条坐标轴和三张坐标平面上点的坐标的特点
4.利用坐标作向量的线性运算 注意：两向量平行等价于两个向量对应的坐标成比例 5.向量的模、方向角、方向余弦 向量的夹角：将向量ā、的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转 过角度0后可与另一个向量正向重合，则称0为向量ā、万的夹角.(0≤0≤) 设a为任意一个向量，又设a、B、y为与三坐标轴正向之间的夹角(0≤α，B,y<π)， α，B,y分别为向量a的方向角.由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影（注意：理解向量在轴 上的投影的概念，详见教材第12页)，故有 a,=acosa,a,=acosB,a.=acosy, 其中cosa、cosB、cosy称为向量a的方向余弦，通常用它表示向量的方向. 由模的定义，可知向量a的模为 @=V(x:-x)+(-x)+(=-z)=y@+aj+a 从而cosa= x 注意：①c0s2a+c0s2B+c0s2y=1,即向量的方向余弦的平方和为1 ②与一个向量ā同方向的单位向量可以方便地表示为下列形式： 名同a.4a))(@aR a 1 ③设M(x,二)、M2(x2,2,2)为空间任意两个点，则这两点之间的距离为 d=MM=Vx-x}+(y2-y)+(52-)
2 4. 利用坐标作向量的线性运算 注意：两向量平行等价于两个向量对应的坐标成比例 5. 向量的模、方向角、方向余弦 向量的夹角: 将向量 a 、b 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转 过角度θ 后可与另一个向量正向重合，则称θ 为向量 a 、b 的夹角. (0 ≤ ≤ θ π) 设 a 为任意一个向量，又设α 、 β 、γ 为与三坐标轴正向之间的夹角（0 , ≤ < αβγ π ）， α , β , γ 分别为向量 a 的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影(注意：理解向量在轴 上的投影的概念，详见教材第 12 页)，故有 cos x a a = α ， cos y a a = β ， cos z a a = γ ， 其中cosα 、cos β 、cosγ 称为向量 a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向. 由模的定义，可知向量 a 的模为 ( ) ( ) ( ) 2 22 222 21 2 1 21 xyz a xx yy zz aaa = − + − + − = ++ . 从而 222 cos x xyz a aaa α = + + ， 222 cos y xyz a aaa β = + + ， 222 cos z xyz a aaa γ = + + ， 注意： ① 222 cos cos cos 1 αβγ ++= ，即向量的方向余弦的平方和为1 ② 与 一 个 向 量 a 同方向 的单位向量 可 以 方 便 地 表 示 为下列形式： ( ) ( ) ( ) 222 1 1 e , , , , cos ,cos ,cos a xyz xyz xyz a aaa aaa a a aaa = = = = αβγ + + . ③ 设 M xyz 1 1 11 ( , , ) 、M xyz 2 2 22 ( , , )为空间任意两个点，则这两点之间的距离为 ( ) ( ) ( ) 2 22 12 2 1 2 1 2 1 d MM x x y y z z = = − +− +−