第八节一般周期的傅里叶级数 到现在为止，我们所讨论的周期函数都是以 2π为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函 数，它的周期不一定是2π.怎样把周期为2λ的周 期函数x)展开成三角级数呢？
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第八节 一般周期的傅里叶级数 到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以 2p为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函 数, 它的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周 期函数f(x)展开成三角级数呢？
以21为周期的函数的傅里叶展开 周期为21函数f(x) 变量代换z=πx 1 周期为2π函数F(z) 将F2)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2p 函数 F(z) 变量代换 l x z p = 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式
定理.设周期为21的周期函数f(x)满足收敛定理条件， 则它的傅里叶展开式为 (在f(x)的连续点处) 其中 (codx (. bn=fsn”Tdxa=1,2.）
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 p − = 其中 定理. l 1 x l n x f x l l ( ) cos d p − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, )
14 证明：令z= x,则x[-1,1]变成z∈[-π，π] 令F(a)=f)=f),则 +2a)=20-月+2n） =f5)=F(e) 所以F(z)是以2π为周期的周期函数，且它满足收敛 定理条件，将它展成傅里叶级数： F(e)=a+∑(an cosn=+b sin nz） n= (在F()的连续点处)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证明: 令 l x z p = , 则 令 ( ) , p lz = f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) ( p p p + + = l z F z f ( 2l ) lz = f + p ( ) p lz = f 所以 且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以 2p 为周期的周期函数
F(z)cosnzda (n=0,1,2,.) 其中 bn=∫rF(e))sinnzdz (n=1,2,3,.) πX 令 2= (cosdx (1.2 b,7sm”axa=12.3 1 (在f(x)的连续点处) 证毕
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 a F z nz z n ( ) cos d 1 − = p p p 其中 b F z nz z n ( )sin d 1 − = p p p 令 l x z p = l an 1 = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 p − = (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d p − 证毕