山东农业大 主讲 方本堂 第五节幂级数的应用 一、近似计算 二、欧拉公式
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节 幂级数的应用 一、近似计算 二、欧拉公式
一、近似计算 例1.计算240的近似值，精确到104 解：240=243-3=3(1-)5 -5 1491,149141 5436+ 324031-53)s3-00741s2926
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) ( −1 x 1) 例1. 计算 5 240 10 . −4 r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 + + + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14 81 8 1 1 1 3 1 25 6 − = ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5 − 3 − 0.00741 2.9926 的近似值, 精确到 + + + 2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10− 3 1 = 4 3 1 5 1 − 2 8 3 1 5 2! 1 4 − − − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243− 3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −
山东农业大 主讲》 方本堂 例2.计算ln2的近似值，使准确到10-4 解：已知 Io(+)=2 十 (-1<x≤1) 4 ,3 .ln(1-x)=-x- . (-1≤x<1) 234 故 n1+x=In(+x)-In(1-x) In 1- -2(x+++.）1x<1 1+x=2得x=3于是有 1 1-x ln2=2 3+1小 33+535+737+
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − = − − − − − − x x x x x x 例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得 = + 3 + 5 + 7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有
在上述展开式中取前四项， 。-g+3如】 均 <0.2×10-4 78732 m22g+5写+号9 *0.6931
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 4 9 3 1 9 1 2 r = 11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − = + + + 3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 0.6931 11 3 1 11 1 + + 13 + 3 1 13 1 9 4 3 1 = 4 0.2 10 78732 1 − = 在上述展开式中取前四项
山东农业大 等数 本堂 说明：在展开式 1n =2(x+5x+x+.) 1+x 1-x 中，令x= 1,（n为自然数)，得 2n+1 al-213n+63+ n m+-lm+22产3+52+ 具此递推公式可求出任意正整数的对数.如 In5 =2In2+ 2g5g+5+. ≈1.6094
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x + + + + + + = + 3 ) 5 2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 ln n n n n n 得 ln(n +1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 ln5 2ln 2 2 1.6094 ( n为自然数) , + + + + + + = + 3 ) 5 2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ln 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x