第七节傅里叶级数 一、三角级数三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节 傅里叶级数 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
山东农业大 主讲 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=A0+∑An sin(nwt+pn) n=1 (谐波迭加) An sinon cosnot+An cos on sinnot ao=Ao,an An sin on,bn=An cosn=x 令2 00 得函数项级数 a+∑(dn c+b,sinnx） 2 k=1 称上述形式的级数为三角级数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sin n cos + n cos n sin 令 sin , n An n a = cos , n An n b = 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数
定理1.组成三角级数的函数系 1,c0sx,sinx,cos2x,Sin2x,.,cosx,sinx,. 在[-π，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0 i证：∫1 cosndx=∫1·sinnxdx=0(n=l1,2,) "cos kx cosnx dx coskxcos nx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =cosk+m)x+cos(k-m)x]dx=0(k≠m） 同理可证：sin kx sin nx dx=0(k≠n) ∫coskx sin dx=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 [I.ldx=2z ∫cos2nxdx=元 (n=1,2,.） sin2xdr=元 cos2 nx= 1+cos2nx 1-cos 2nx sinnx= 2 2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nx dx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数，且 f=号+a,os+,s如 00 ① n=1 右端级数可逐项积分，则有 〔an=Jnf(ax)cosnxdx (n=0,l） ② fx)sinnxdx (n=1,2.) 证：由定理条件，对①在[-π，]逐项积分，得 -2dx2到a.j小o+d =aoπ
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x d x ① ② 对①在 逐项积分, 得