第六节无穷小的比较经济数学微积分
第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较例如，当x→0时,x,x2,sinx都是无穷小x比3x要快得多：lim= 0,观察各极限x-03xsin xsinx与x大致相同：1limx-→0xsin xsinxlimlim=8x-→0x-0xx0型)0sinx比x2要慢极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同,经济数学微积分
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 0 sin lim x x x→ 0 , , ,sin . 当x → 时 x x 2 x 都是无穷小 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; = 0, = 1, = = → ) sin 1 lim( 0 x x x x 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0 sin . x比 x 2 要慢
定义：设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0(I) 如果 lim B,=0，就说β是比α高阶的无穷小α记作β= 0(α);β(2) 如果lim=80，就说β是比α低阶的无穷小，αβ(3) 如果 lim=C≠0,就说β与α是同阶的无穷小α特殊地,如果 limB2=1,则称β与α是等价的无穷小α记作α～β;经济数学微积分
记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 , = = o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) 如果 lim = 0,就说 与 是同阶的无穷小; C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说 是比 低阶的无穷小． ( ) lim
β(4) 如果 limC≠0,k>0,就说β是α的k阶的kα无穷小例如，lim0即 x2 = 0(3x) (x→ 0)x→03x当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小sin xlim1即 sinx ~x (x →0)x-→0x当x→0时,sinx与x是等价无穷小经济数学微积分
. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C k 就说 是 的 k 阶的 0， 3 lim 2 0 = → x x x 1， sin lim 0 = → x x x 0 3 ; 当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如
例1 证明：当x→0时,tanx一sinx为x的三阶无穷小tan x -sin x解 : limtsx-→0sin x1-cosx=lim-x→0xcos x1sin x1cosxlim= limlim2’x-→0x-→0x-→o cosxx:tanx一sinx为x的三阶无穷小&经济数学微积分
例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − = → → →