第三节无穷小与无穷大无穷小一、无穷大二、三、小结思考题经济数学微积分
一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题 第三节 无穷小与无穷大
一、无穷小(infinitesimal)1. 定义：如果函数 f(x)当x→x(或x→)时的极限为零，那么称 f(x)为当x→x(或x→8)时的无穷小·f(x)为当x→x。（或x→o0）时的无穷小台>0,>0,当0<x-<时，有f(x)<8微积分经济数学
) . ( ) ( ( ) ( ) 0 0 时的无穷小 时的极限为零，那么称 为 当 或 如果函数 当 或 → → → → x f x x x f x x x x 一、无穷小(infinitesimal) 1. 定义: f ( x) 为 当 0 x → x ( 或 x → ) 时的无穷小 − ( ) 0 , 0 , 0 0 f x 当 x x 时， 有
例如,：limsinx=0，·函数sinx是当x→0时的无穷小x→01lim:0·函数(二是当x一→8时的无穷小x-→0 xx(-1)"-1)：0，·数列7是当n→8时的无穷小linn→nn注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆：（2）零是可以作为无穷小的唯一的数微积分经济数学
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
2.无穷小与函数极限的关系：定理1lim f(x)= A台 f(x)= A+ α(x),x-→xo其中α(x)是当x→x,时的无穷小证 必要性 设 lim f(x)= A, 令α(x)=f(x)-A,x-→xo则有 lim α(x)=0, . f(x)= A+α(x).x-→xo充分性 设 f(x)= A+α(x),其中α(x)是当x→x,时的无穷小则 lim f(x) = lim(A+α(x) = A+ lim α(x) = A.x-→xoX-→xox-→xo2经济数学微积分
2. 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2）给出了函数 f(x)在 x。附近的近似表达式 f(x) ~ A, 误差为 α(x).3.无穷小的运算性质：定理2在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小，证设α及β是当x→8时的两个无穷小V >0,3X, >0,X, >0,使得经济数学微积分
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为 （ ）给出了函数 在 附近的近似表达 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,X1 0, X2 0,使得