第四章中值定理与导数的应用习题课主要内容典型例题经济数学微积分
主要内容 典型例题 第四章 中值定理与导数的应用 习 题 课
一、主要内容洛必达法则0°,1°,80°型Cauchy令y=fs0型-0中值定理取对数8-8型0 .80型I-s-V8型F(x)= xf·g=81f(a) = f(b)LagrangeRolle导数的应用中值定理定理单调性，极值与最值n=0凹凸性，拐点，函数图形的描绘；Taylor常用的最值的经济应用中值定理泰勒公式经济数学微积分
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 最值的经济应用 导数的应用 一、主要内容
1.罗尔中值定理罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点(a<<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零即f()=0经济数学微积分
1. 罗尔中值定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使得函数f (x)在该 点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
2.拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使等式f(b)- f(a) = f()(b-a) 成立.有限增量公式(0 <0<1)Ay = f'(x + x)· △x增量△y的精确表达式经济数学微积分
2. 拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式
推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那末f(x)在区间I上是一个常数3.柯西中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b),使等式f(b)- f(a) -f'()成立.F()F(b)- F(a)经济数学微积分
3. 柯西中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成立. 推论 ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I