《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 导数与微分 习题课

第三章导数与微分习题课主要内容典型例题经济数学微积分

主要内容 典型例题 第三章 导数与微分 习 题 课

一、主要内容dy关系= y' dy = y'dx ← Ay = dy + o(△x)dx导数微分基本公式Aylimdy=y△x高阶导数Ar-0 △x求导法则经济数学微积分

求 导 法 则 导 数 基本公式 x y x    →0 lim 微 分 dy y x =  关 系 d d d d d ( ) y y y y x y y o x x =  =   = +    高阶导数 一、主要内容

1.导数的定义定义设函数y= f(x)在点x的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量△x(点xo+△r仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Ay=f(xo+△Ax)-f(xo);如果△y与x之比当△x一→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点xo处可导,并称这个极限为函数y=f(x)dydf(x)或x=x，即在点x处的导数，记为yx=xo'dxX=xodxAyf(x + △r)- f (x)limlim-X=XoAr→0AxAr-→0 Ax经济数学微积分

1.导数的定义 在 点 处的导数 记 为 或 即 在 点 处可导 并称这个极限为函数 如 果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在 点 的某个邻域内有定义 , d d ( ) d d , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x f x x y x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = =  = =    →  = +  −  +  定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → =

单侧导数1.左导数：f(xo +Ax)- f(xo)f(x)-f(xo)f'(xo)= limlimArAx-→-0x-→xo-0x-xo2.右导数：f(x + Ax)- f(xo)f(x)- f(xo)f*(x)= limJimArx-→xo+0Ar-→+0x-xo函数f(x)在点x。处可导台左导数f'(x）和右导数f(x。)都存在且相等经济数学微积分

2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → −  →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → +  →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f −  和右 导数 ( ) x0 f +  都存在且相等

2，基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）(C)= 0(x")= μxu-1(sin x)'= cosx(cosx)'= -sin x(tanx)'= sec? x(cotx)' = -csc* x(secx)'= secxtgx(cscx)=-cscxctgx(a")= a*Ina(e")'=er1(loga x)' =(lnx)'= 1xlnax11(arcsinx)(arccosx)'-/1-xV1-x11(arctanx)(arccotx)'1+x21+x2V福经济数学微积分

2. 基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec tg (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x x x x x x x C a x x +  = −  =  =  =  =  =  =  = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc ctg (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x x x x x x x x x x x +  = − −  = −  =  =  = −  = −  = −  =  −  arc